制作长度为k的最长公共子序列的最低成本

介绍

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在两个字符串中最长的相同子序列。给定两个字符串s1和s2，找出它们的最长公共子序列并计算制作长度为k的LCS的最低成本。

思路

本题可以使用动态规划（Dynamic Programming，DP）来解决。具体思路如下：

• 定义二维数组dp[i][j]表示s1前i个字符和s2前j个字符的LCS的长度。
• 初始化：dp[0][j]=dp[i][0]=0。
• 状态转移方程：如果s1[i]==s2[j]，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；否则，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。
• 最终结果：dp[len1][len2]就是s1和s2的LCS长度，如果LCS长度小于k则返回-1，否则计算LCS的最低制作成本。

计算LCS最低制作成本需要用到贪心算法，具体思路如下：

• 建立字典d，遍历s1和s2，统计每个字符出现的次数，将字符作为键、出现次数作为值保存在d中。
• 将d中的值升序排序，依次取出前k个键，计算制作LCS的最低成本。

代码实现

def lcs_min_cost(s1, s2, k):
    len1, len2 = len(s1), len(s2)
    dp = [[0] * (len2 + 1) for _ in range(len1 + 1)]
    for i in range(1, len1 + 1):
        for j in range(1, len2 + 1):
            if s1[i - 1] == s2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    if dp[len1][len2] < k:
        return -1
    d = {}
    for c in s1:
        if c in d:
            d[c] += 1
        else:
            d[c] = 1
    for c in s2:
        if c in d:
            d[c] += 1
        else:
            d[c] = 1
    sorted_keys = sorted(d, key=d.get)[:k]
    min_cost = 0
    for c in sorted_keys:
        min_cost += d[c]
    return min_cost

测试样例

s1 = 'abcde'
s2 = 'acef'
k = 2
print(lcs_min_cost(s1, s2, k)) # 2

性能分析

由于时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度也为O(n^2)，所以在处理较大规模的数据时可能会导致超时或内存不足等问题。因此需要根据实际情况优化算法，例如使用滚动数组或分治算法等。