将数组拆分为最少数量的子集

问题描述

给定一个由正整数组成的数组，需要将数组拆分为若干个子集，使得每个子集中的元素满足以下条件：

• 对于任意两个元素i和j（i < j），在拆分后的所有子集中必须保证i和j要么都在同一个子集中，要么都不在同一个子集中。
• 所有子集的数量要尽可能地小。

解决方案

这是一个经典的问题，可以用贪心算法求解。具体地，对于给定的数组，我们按照元素大小从大到小的顺序依次考虑，尝试将其放入已有的子集中，如果当前所有的子集中没有任何一个子集可以满足条件，那么就创建一个新的子集并将当前元素放入其中。最终我们可以得到一个满足条件的拆分方案。

为了更好地理解这个算法，我们可以用下面的Java代码进行说明：

import java.util.*;

public class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 对数组按照元素大小从大到小的顺序进行排序
        Arrays.sort(nums);

        // 用一个Map记录每个数在哪个子集中出现过
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();

        // 遍历所有的元素，依次考虑是否能够放入已有的子集中
        for (int num : nums) {
            if (!map.containsKey(num + 1)) {
                // 如果当前元素的下一个元素没有出现过，
                // 那么就可以将当前元素放入一个新的子集中
                map.put(num, 1);
            } else {
                // 否则，就将当前元素放入下一个元素所在的子集中
                int group = map.get(num + 1);
                map.put(num, group);
                map.put(num + 1, group + 1);
            }
        }

        // 放置后的子集数量即为答案
        return !map.isEmpty();
    }
}

思考题

• 在实现中，我们将数组按照元素大小从大到小的顺序进行排序，这样做有什么好处吗？如果我们按照元素大小从小到大的顺序进行排序会有什么影响吗？
• 如果我们要将拆分后的每个子集中元素的数量控制在一个特定的范围内，例如不超过K个元素，应该怎么做呢？