使前 N 个自然数的排列相等所需的最小运算次数

简介

给定序列 $a_1, a_2, ..., a_n$，将其排序为 $1, 2, ..., n$ 的排列所需的最小操作数，即将 $a$ 序列通过交换两个元素，使其变为一个排列的最小操作数。

解法

使用一个变量 $ans$ 记录所需的最小操作数，初始值为 $0$。则原问题等价于求序列 $a$ 中逆序对的数量。

在排序的过程中，每次调整位置时都会影响两个数的逆序对个数，即当 $a_i > a_j$ 且 $i < j$ 时，将 $a_i$ 和 $a_j$ 交换会减少一个逆序对。

因此，我们只需要在排序的过程中计算逆序对数量，该数量即为所需的最小操作数。

代码

Python

def merge_sort(arr):
    """
    归并排序
    """
    def merge(arr, l, mid, r):
        """
        归并排序中的合并函数
        """
        i, j, k = l, mid + 1, 0
        tmp = [0] * (r - l + 1)
        cnt = 0
        while i <= mid and j <= r:
            if arr[i] <= arr[j]:
                tmp[k] = arr[i]
                k += 1
                i += 1
            else:
                tmp[k] = arr[j]
                k += 1
                j += 1
                cnt += mid - i + 1
        while i <= mid:
            tmp[k] = arr[i]
            k += 1
            i += 1
        while j <= r:
            tmp[k] = arr[j]
            k += 1
            j += 1
        arr[l:r + 1] = tmp
        return cnt

    def sort(arr, l, r):
        """
        归并排序中的分治函数
        """
        if l >= r:
            return 0
        mid = (l + r) // 2
        res = 0
        res += sort(arr, l, mid)
        res += sort(arr, mid + 1, r)
        res += merge(arr, l, mid, r)
        return res

    return sort(arr, 0, len(arr) - 1)


def min_operations(n: int, arr: List[int]) -> int:
    """
    求使前 N 个自然数的排列相等所需的最小操作数
    """
    for i in range(n):
        arr[i] -= 1
    return merge_sort(arr)

C++

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int merge(vector<int> &arr, int l, int mid, int r) {
    int i = l, j = mid + 1, k = 0;
    vector<int> tmp(r - l + 1);
    int cnt = 0;
    while (i <= mid && j <= r) {
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            tmp[k++] = arr[i++];
        } else {
            tmp[k++] = arr[j++];
            cnt += mid - i + 1;
        }
    }
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = arr[i++];
    }
    while (j <= r) {
        tmp[k++] = arr[j++];
    }
    for (i = l, k = 0; i <= r; i++, k++) {
        arr[i] = tmp[k];
    }
    return cnt;
}

int merge_sort(vector<int> &arr, int l, int r) {
    if (l >= r) {
        return 0;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    int res = 0;
    res += merge_sort(arr, l, mid);
    res += merge_sort(arr, mid + 1, r);
    res += merge(arr, l, mid, r);
    return res;
}

int min_operations(int n, vector<int> arr) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i]--;
    }
    return merge_sort(arr, 0, n - 1);
}

int main() {
    int n = 5;
    vector<int> arr = {5, 3, 1, 4, 2};
    cout << min_operations(n, arr) << endl;  // 输出 4
    return 0;
}

总结

以上介绍了求使前 N 个自然数的排列相等所需的最小操作数的方法，即计算序列中逆序对的数量。该问题可以通过归并排序来解决。