题目：长度为N的二进制字符串的计数，以使1的频率超过0的频率

问题描述

给定一个二进制字符串，求在长度为N的二进制字符串中，使得1的出现次数超过0的出现次数的字符串数量。

例如，当N=5时，二进制字符串总数为32，其中满足条件的二进制字符串仅有[11000, 11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 11111]，因此满足条件的二进制字符串数量为8。

请你编写一个函数，输入一个整数N，输出满足条件的二进制字符串数量。

思路分析

对于长度为N的二进制字符串，其中0与1各有N/2个。要使1的出现次数超过0的出现次数，我们只需要将N/2个0中的一个或几个换成1即可。

假设我们将其中的m个0换成了1，那么1的出现次数就是N/2 + m，0的出现次数是N/2 - m。为了满足1的出现次数大于0的出现次数，必须保证N/2 + m > N/2 - m，即m > N/4。

因此，满足条件的二进制字符串数量即为从N/2+1个0中任选一个或多个换成1的方案数，即组合数$C_{N/2+1}^{1}$ + $C_{N/2+1}^{2}$ + ... + $C_{N/2+1}^{N/4+1}$。

代码实现

def count_binary_strings(n):
    """
    计算长度为n的二进制字符串中，使得1的出现次数超过0的出现次数的字符串数量
    """
    ans = 0
    for i in range(n//2+1, n+1):
        ans += math.comb(n//2+1, i) # 使用math.comb函数计算组合数
    return ans

public int countBinaryStrings(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = n / 2 + 1; i <= n; i++) {
            ans += combination(n / 2 + 1, i); // 使用combination函数计算组合数
        }
        return ans;
    }

    private int combination(int n, int k) {
        int res = 1;
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            res = res * (n - i + 1) / i;
        }
        return res;
    }

复杂度分析

时间复杂度为$O(n^2)$，其中包括$O(n)$的遍历和$O(n)$的计算组合数。

空间复杂度为$O(1)$，只需要常数空间存储计算结果。

总结反思

本题思路比较简单，但需要注意的是，Java中并没有提供计算组合数的函数，因此我们需要手动实现。常见的计算组合数的方法有递归、递推和Lucas定理等，其中递推比较好实现。另外，注意到组合数可能非常大，需要采用取模计算的方法避免溢出。