长度为 N 的二进制字符串的计数，使得 1 的频率超过 0 的频率

问题描述

给定一个整数 N ，计算有多少个长度为 N 的二进制字符串满足 1 的频率超过 0 的频率。

解题思路

设这样的二进制字符串中 1 的个数为 k，则 0 的个数为 N - k。则有以下两种情况：

1. k > N/2：此时 1 的频率已经大于 0 的频率，无需考虑其他情况，直接将计数器加 2^(N-k) 即可。
2. k = N/2：此时 1 和 0 的频率相等，需要将所有 k > N/2 的情况累加起来。由于二进制字符串是对称的，计数器需要加上 2^(N-k) * C(k, N-k)。

代码实现

以下为 Python 代码实现：

import math

def count(N: int) -> int:
    count = 0
    for k in range(N//2+1, N+1):
        count += 2**(N-k) * math.comb(N, k)
    return count

复杂度分析

计算二项式系数的时间复杂度为 O(N)，共需计算 N/2 次，因此总时间复杂度为 O(N^2)。空间复杂度为 O(1)。