按位与非零的子序列的最大和

问题描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的子序列（子序列中至少包含一个数），并且这个子序列中所有数字的按位与值都不为零。

问题分析

• 我们需要先找出所有不为零的子序列，并计算它们的和。

• 对于每一个子序列，可以用以下方法判断其按位与值是否为零：

  • 逐位比较每个数字的二进制表示是否为 1，如果有至少一位为 0，那么该子序列的按位与值为 0。

• 因为数据长度较大，暴力枚举每一个子序列的时间复杂度过高，因此考虑使用动态规划求解。

• 定义状态 $dp[i]$ 表示以 nums[i] 结尾的不为零的子序列的最大和。

• 初始状态为 $dp[0] = nums[0]$，因为以第一个数结尾的子序列只有一个元素。

• 转移方程为 $dp[i] = \max\limits_{j=0}^{i-1}{dp[j]+nums[i]}$，其中 j 表示截止到第 j 个元素的不为零的子序列的最后一个元素。

• 最终答案为 $\max\limits_{i=0}^{n-1} dp[i]$，其中 n 为数组 nums 的长度。

代码实现

def max_nonzero_subarray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [nums[i] for i in range(n)]
    ans = dp[0]
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] & nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + nums[i])
        ans = max(ans, dp[i])
    return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。