相同位数乘积的最大数量

在一组数字中，选出若干个数字，将它们的乘积计算出来，求出乘积中每个数字出现的次数最大是多少。

思路

如果限制了乘积中每个数字出现的次数只能是 1 次，那么这个问题就简单了，只需要对所有数字进行质因数分解，然后统计质因数出现的次数，并找出出现次数最少的质因数，它就是乘积中出现的最少次数。但是如果乘积中每个数字出现的次数可以多于 1 次，问题就变得比较复杂。

考虑到如果一个数字是另一个数字的倍数，那么这个数字在乘积中出现的次数一定不会比另一个数字多，因此可以将所有数字按从小到大的顺序排列，并且每个数字只考虑它的倍数，不考虑比它小的数字，因为较小的数字的质因数都会在更大的数字中出现。

我们可以考虑动态规划来解决这个问题。假设我们当前已经处理了前 i 个数字，乘积的因子中最后一个数字是 j，我们需要求出乘积中数字 j 出现的最大次数。

我们可以用 dp(i, j) 表示考虑前 i 个数字，乘积的因子中最后一个数字是 j 的最大出现次数。

对于一个数字 k，如果它是 j 的倍数，那么在当前状态下可以将数字 k 加入乘积中，此时数字 j 的出现次数就会比之前多 1 次。因此我们可以枚举数字 k，将 dp(i-1, k) 转移至 dp(i, j)。

为了保证数字 j 出现的次数不超过其他数字，我们需要检查所有的数字 k 是否是数字 j 的倍数，如果数字 k 是数字 j 的倍数，那么 k 出现的次数就应该不超过 j 出现的次数，即 dp(i-1, k) <= dp(i, j)。

最终结果是 dp(n, 1)。

代码

def max_multiplication(nums):
    nums.sort()
    n = len(nums)
    max_num = max(nums)
    factors = [[] for _ in range(max_num+1)]
    for i in range(2, max_num+1):
        if not factors[i]:
            for j in range(i, max_num+1, i):
                factors[j].append(i)
    dp = [1] + [0] * max_num
    for i in range(1, n+1):
        new_dp = dp.copy()
        for j in factors[nums[i-1]]:
            for k in range(j, max_num+1, j):
                if nums[i-1] % k != 0:
                    continue
                new_dp[k] = max(new_dp[k], dp[j] + 1)
        dp = new_dp
    return max(dp)

测试

assert max_multiplication([1,2,3,4,5,6]) == 3
assert max_multiplication([1,2,4,8,16,32]) == 6
assert max_multiplication([1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2]) == 6
assert max_multiplication([1,2,2,3,3,3,4,4,4,4]) == 5