题目描述

给定一个整数数组 nums，需要向其中添加一个最小的数字，使得数组的平均值等于 1。

函数签名

def find_additional_number(nums: List[int]) -> int:
    pass

示例

assert find_additional_number([1, 2, 3]) == 9
assert find_additional_number([4, 2, 3]) == 3

解法

假设数组原本的平均值为 $m_1$，数组总和为 $s_1$，数组长度为 $n$。

我们需要向其中添加一个最小的数字 $x$，使得添加后数组的平均值为 $1$，总和为 $n+x$。

总和目标值为 $s_2 = n+x$，平均值目标值为 $m_2 = 1$，那么我们有如下公式：

$$ \frac{s_1+x}{n+1} = 1 $$

移项可得 $x = n+1-s_1$。

因此，我们只需要计算出数组的总和和长度，就能够得出需要添加的数字。

代码实现

from typing import List

def find_additional_number(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    s_1 = sum(nums)

    x = n+1-s_1
    return x

性能分析

假设数组长度为 $n$，时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。实际运行时间取决于数组长度。由于遍历了一遍数组，因此时间复杂度为线性，可以接受。

总结

本文介绍了如何计算需要添加的数字，使得数组的平均值等于 1。本题需要处理的操作很简单，只需要计算总和和长度，因此时间复杂度较低。