门 | GATE-CS-2016（套装2）|第 43 题

本题是 GATE-CS-2016（套装2）的第 43 题，考察了应试者在数据结构和算法领域的掌握情况。本题的问题描述如下：

在一空间中，有 n 个门，编号为 1 到 n。每个门都有一个状态，要么是打开的，要么是关闭的。若将某一门的状态改变，则其相邻的左右门的状态也会发生变化。已知初始时每个门都是打开的状态，请设计一个算法，使得所有门都变成关闭状态，且需保证所进行的操作最少。你可以假设这 n 个门呈一排。

输入格式：

• 输入文件 door.in 的第一行包含一个整数 n，表示门的总数。
• 输入文件 door.in 的第二行为 n 个整数，每个整数为 0 或 1，表示每个门的初始状态。

输出格式：

• 输出文件 door.out 仅包含一个整数，表示所需操作的最少次数。

例如，当 n=5，初始状态为所有门都是打开的时，最少需要执行 2 次操作才能将所有门关闭：

1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 --> 第一次操作
0 1 1 1 0 --> 第二次操作

本题的难点在于如何设计高效的算法，在最优解的情况下完成所需的最少操作。下面是一份可行的算法实现：

def door_operations(n, doors):
    if n <= 2:
        return doors.count(1)
    count = doors[0] + doors[-1] # 处理边界门
    left, right = doors[0], doors[-1]
    for i in range(1, n-1):
        if left != doors[i] and right != doors[i]:
            count += 1 # 改变状态
        else:
            left, right = doors[i-1], doors[i+1] # 更新边界门状态
    return count

# 使用样例
print(door_operations(5, [1,1,1,1,1])) # 输出 2

算法的核心思想是，尽可能地不改变门的状态，多次操作后再对需要改变的门进行状态切换。通过对边缘门状态的判断，能够优化算法的执行效率，使得时间复杂度为 O(n)。