数据结构 | 堆 | 问题 6

一、问题描述：

给定一个长度为 n 的数组，将其划分为 k 个非空连续子数组，使得每个子数组的和的最小值最大化。数组由正整数构成。

二、解决方案：

这是一个典型的二分查找问题。因为最小值最大，所以我们可以通过二分搜索来找到这个最小值。算法流程如下：

1. 初始化 left 和 right。left 是数组中最大的数，right 是所有数的和。
2. 计算 mid，表示子数组和的最小值。
3. 遍历数组，如果当前子数组和大于 mid，就将子数组数量加 1，并将当前元素作为下一个子数组的第一个元素。
4. 统计子数组数量。如果子数组数量小于等于 k，说明我们可以继续尝试找一个更大的 mid。
5. 如果子数组数量大于 k，说明当前的 mid 太小了，需要增大 mid。

def splitArray(nums, m):
    left, right = max(nums), sum(nums)
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        curr_sum, count = 0, 1
        for num in nums:
            if curr_sum + num > mid:
                count += 1
                curr_sum = num
            else:
                curr_sum += num
        if count > m:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return left

三、时间复杂度：

算法的时间复杂度为 O(n*log(sum(nums)))，其中 n 是数组长度，sum(nums) 是数组的和。二分查找的时间复杂度为 O(log(sum(nums)))，内部遍历数组的时间复杂度为 O(n)。

四、空间复杂度：

算法的空间复杂度为 O(1)，因为只用了常数级别的额外空间。

五、题目拓展：

1. 如果给定了一个无序的数组，求可以划分成多少个子数组，使得每个子数组的和不超过 k？

   这个问题可以用贪心算法来解决。先对整个数组排序，然后从小到大遍历数组，每次尽可能将当前数和之前的数组成子数组，直到子数组和大于 k。然后开始下一个子数组的构建。时间复杂度为 O(n*logn)。

2. 如果给定了一个二维数组，求可以划分成多少个子矩阵，使得每个子矩阵的和不超过 k？

   这个问题可以用类似的二分答案法，每次将一维数组转化为前缀和数组，然后将矩阵变成一维数组，再将每一行和前面的行相加。然后对这些单调递增的行求最小值，即为最大的子矩阵和，然后再用二分查找法找到最大子矩阵和不超过 k 的最大值即可。时间复杂度为 O(n^2*logn)。