查找严格递减的子数组的数量

在计算机科学中，数组是一种常见的数据结构，它可以用于存储一组有序的元素。在这些元素中，可能存在一些严格递减的子数组，本文将介绍如何查找这些子数组的数量。

问题描述

给定一个整数数组 nums，请您计算其中严格递减子数组的数量。

一个子数组是由原数组中一个连续下标序列组成，并且每个元素之间具有相同的差。如果一个子数组以严格递减的方式排列，则称其为严格递减子数组。

例如，数组 [5,4,3,2,1] 中，有以下严格递减子数组：[5,4,3,2,1],[4,3,2,1]，[3,2,1],[2,1] 和 [1]，所以该数组的严格递减子数组的数量为 5。

解法

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的严格递减子数组的数量。

• 当 nums[i] >= nums[i-1] 时，即不满足严格递减的条件，此时 dp[i] = 0。
• 当 nums[i] < nums[i-1] 时，我们需要考虑以 nums[i-1] 结尾的子数组中是否包含严格递减的子数组。如果存在，则以 nums[i] 结尾的严格递减子数组数量为以 nums[i-1] 结尾的严格递减子数组数量加一，即 dp[i] = dp[i-1] + 1。如果不存在，则以 nums[i] 结尾的严格递减子数组数量为一，即 dp[i] = 1。

最终，我们只需要将 dp 数组中的所有元素相加，即可得到 nums 数组中严格递减子数组的数量。

以下是动态规划的代码实现：

def numDecreasingSubarrays(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1
    ans = 1
    for i in range(1, n):
        if nums[i] < nums[i-1]:
            dp[i] = dp[i-1] + 1
        else:
            dp[i] = 0
        ans += dp[i]
    return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：遍历 nums 数组一遍，时间复杂度为 $O(n)$。
• 空间复杂度：需要额外的 $O(n)$ 的空间来存储 dp 数组。

总结

本文介绍了如何查找数组中严格递减的子数组的数量，我们使用动态规划的方法来解决这个问题。希望本文对读者有所帮助！