查询子数组中的复合数字(带点更新)

在进行数组操作时，查询子数组中的复合数字是一项常见的任务。这个问题可以通过循环遍历来解决，但是这样的方法效率较低。本文将介绍一种更高效的方法，以及一个带点更新的实现。

算法思路

本算法通过维护前缀和来提高查询效率，具体流程如下：

1. 定义前缀和数组 preSum，其中 preSum[i] 表示原数组中前 i 个数的和。
2. 对于查询子数组 [i,j]，其和为 preSum[j] - preSum[i-1]。
3. 将每个子数组的和与目标数字进行比较，若符合条件则计数器加一。
4. 遍历完所有子数组之后，即可得到符合条件的子数组数量。

该算法的时间复杂度为 $O(N^2)$，由于本文重点是对算法的优化，因此不再进行细节讲解。

优化过程

虽然前缀和优化算法已经比循环遍历的方法要快很多，但是还有更多方法可以进一步提高效率。下面我们将介绍一些优化过程：

1. 使用滑动窗口

滑动窗口可以将时间复杂度降至 $O(N)$。具体思路如下：

1. 定义左右指针 left 和 right，分别指向子数组的左右边界。
2. 初始化子数组的和 sum 为 0。
3. 不断移动右指针，直到 sum 大于等于目标数字，期间记录符合条件的子数组数量，并不断减去左指针所指元素的值，直至 sum 小于目标数字，再移动左指针。
4. 重复 3 步骤直至右边界到达数组末尾。

需要注意的是，滑动窗口算法仍然需要遍历所有子数组，因此时间复杂度仍然为 $O(N^2)$。

2. 优化前缀和计算

在计算前缀和时，我们可以将其合并为一个过程，从而得到更高效的算法。

具体思路如下：

1. 初始化前缀和数组 preSum。
2. 从左到右遍历原数组，累加数组元素，同时将 preSum 数组对应位置赋值为累加和。
3. 遍历 preSum 数组，计算每个子数组的和并比较。

这种方法可以将前缀和数组的计算时间从 $O(N)$ 降至 $O(1)$，时间复杂度变为 $O(N)$。具体实现代码如下所示：

def countSubarrays(nums, target):
    n = len(nums)
    preSum, res, sum = [0] * (n + 1), 0, 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
        preSum[i + 1] = sum
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            if preSum[j] - preSum[i] == target:
                res += 1
    return res

3. 使用哈希表优化查询

通过使用哈希表，我们可以将时间复杂度降至 $O(N)$。具体思路如下：

1. 初始化哈希表 hashTable，其中 hashTable[0] = 1。
2. 初始化前缀和 sum 为 0。
3. 对于每个元素 num，计算前缀和并进行如下操作：
   • 计算当前的前缀和与目标数字之差 diff。
   • 在哈希表中查找是否存在前缀和等于 diff 的元素，存在即增加计数器。
   • 将前缀和 sum 记录到哈希表中。
4. 返回计数器。

需要注意的是，为了避免重复计算，哈希表中应该先存入初始前缀和，如此便可以节省一步判断操作。

该算法的时间复杂度为 $O(N)$，具有更高的执行效率。下面是具体实现代码：

def countSubarrays(nums, target):
    n = len(nums)
    hashTable, res, sum = {0: 1}, 0, 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i]
        diff = sum - target
        if diff in hashTable:
            res += hashTable[diff]
        hashTable[sum] = hashTable.get(sum, 0) + 1
    return res

总结

• 查询子数组中的复合数字是一项常见的任务，可以使用前缀和等方法进行优化。
• 滑动窗口可以将时间复杂度降至 $O(N)$，但仍需要遍历所有子数组。
• 优化前缀和计算可以将时间复杂度从 $O(N^2)$ 降至 $O(N)$。
• 使用哈希表可以将时间复杂度降至 $O(N)$，具有更高的执行效率。