最小角回归 (LARS)

简介

最小角回归 (Least Angle Regression, 简称LARS) 是一种线性回归算法，用于在高维数据集上进行特征选择。LARS的目标是通过从原始数据中选择出最相关的特征来获得最佳预测结果。相比于传统的线性回归算法，LARS可以在具有相同预测准确性的情况下使用更少的特征，从而降低了计算成本和模型复杂度。

对于大多数实际数据集，特征数量往往比样本数量大得多，这意味着传统的线性回归算法可能会产生严重的过拟合问题。为了避免过拟合，通常需要进行特征选择以减少特征数量。LARS算法通过每次选择一个最相关的特征来实现特征选择，同时保持误差的最小增加。

LARS算法步骤

LARS算法的实现步骤如下：

1. 标准化数据：将数据集中的所有特征值向量除以其标准差，使得每个特征值具有零均值和标准差等于1。
2. 初始化模型：将模型中的所有特征系数设置为零。
3. 计算残差向量：将目标向量减去所有已选择的特征对目标变量的影响估计量，得到一个残差向量r。
4. 计算相关系数：计算所有特征向量与残差向量的相关系数。为了防止选择相同的特征向量，LARS将相关系数最大的特征向量相当于与所有已选择的特征向量相关的部分记为$X_{A}^{'}$。此时，如果有多个特征向量具有相同的最大相关系数，则选择其中一组向量的加和向量。
5. 沿着局部角度最大的方向移动：将当前的特征系数沿着$X'_{A}$的方向朝着其相关系数所在的方向移动，移动距离由相关系数决定。
6. 更新残差向量：将残差向量根据新的特征系数和其相关的特征向量更新。
7. 循环：重复步骤3至6，直到选择了所有的特征或者达到预先设定的特征数量。

代码示例

下面是使用Python实现的LARS回归算法示例代码:

import numpy as np

def lars_regression(X, y):
    n_samples, n_features = X.shape
    mu = np.mean(X, 0)
    X = X - mu
    y = y - np.mean(y)
    norms = np.sqrt(np.sum(X ** 2, axis=0))
    X /= norms
    beta = np.zeros(n_features)
    active = []
    correlation = np.dot(X.T, y)
    for i in range(n_features):
        if len(active) == 0:
            j = np.argmax(np.abs(correlation))
        else:
            Xa = X[:, active]
            direction = np.dot(Xa.T, y - np.dot(Xa, beta[active]))
            j = np.argmax(np.abs(np.dot(X.T, direction)))
        active.append(j)
        Xa = X[:, active]
        G = np.dot(Xa.T, Xa)
        L = np.linalg.cholesky(G)
        beta[active] = np.dot(np.linalg.inv(L.T), np.dot(np.linalg.inv(L), np.dot(Xa.T, y)))
        correlation = np.dot(X.T, y - np.dot(X, beta))
    return beta * norms / np.std(y - np.dot(X, beta))

上述代码采用了numpy矩阵计算，用于计算着选择相同的特征向量的加和向量、求矩阵的线性组合等计算，提高了性能。

总结

LARS算法是一种高效的特征选择算法，它可以在保证模型预测准确性的情况下降低模型的复杂度。与传统的线性回归算法相比，LARS算法更加适用于处理高维数据，可以帮助用户有效解决过拟合问题。