ScapeGoat树|设置1(介绍和插入)

什么是ScapeGoat树？

ScapeGoat树是一种平衡二叉搜索树，它能够在O(log n)的时间复杂度内完成大部分的操作，包括插入、查询、删除等。它的结构与AVL树类似，但是AVL树的平衡条件更加严格，因此ScapeGoat树会比AVL树更快地适应数据集的变化。

如何插入节点？

向ScapeGoat树中插入一个节点会引起树的平衡问题，因此我们需要进行一些操作来保持树的平衡。下面是插入节点的步骤：

1. 如果树为空，将节点设为根节点。
2. 在树中找到插入位置，插入新节点。
3. 如果当前节点的左子树高度和右子树高度之差大于1，则进行旋转操作。具体来说，我们可以使用左旋和右旋来处理不平衡，或者使用替罪羊重构，将插入节点的子树进行平衡操作。
4. 如果经过旋转或重构后，新树的高度和旧树的高度相比变化太大，那么就需要重新构建整棵树。具体来说，我们可以使用替罪羊重构来维护树的平衡。

下面是具体的代码实现：

struct Node {
    int key;
    Node *left, *right;
    Node(int k) : key(k), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class ScapeGoatTree {
private:
    Node *root;
    int size;
    double alpha;
    void rebuildSubtree(Node *node, Node **&pos);
    void dfs(Node *node);
public:
    ScapeGoatTree(double a) : root(nullptr), size(0), alpha(a) {}
    void insert(int key);
    void print();
};

void ScapeGoatTree::insert(int key) {
    Node **cur = &root;
    stack<Node **> st;
    while (*cur) {
        st.push(cur);
        cur = key < (*cur)->key ? &((*cur)->left) : &((*cur)->right);
    }
    *cur = new Node(key);
    size++;
    if (size > 1 && log(size) / log(1.0 / alpha) > log(1.0 * size)) {
        rebuildSubtree(root, cur);
    }
}

void ScapeGoatTree::rebuildSubtree(Node *node, Node **&pos) {
    int cnt = 1;
    stack<Node *> st;
    st.push(node);
    while (!st.empty()) {
        Node *cur = st.top(); st.pop();
        if (cur->left) st.push(cur->left);
        if (cur->right) st.push(cur->right);
        cnt++;
    }
    vector<Node *> nodes(cnt);
    st.push(node);
    for (int i = 1; i < cnt; i++) {
        Node *cur = st.top(); st.pop();
        nodes[i] = cur;
        if (cur->right) st.push(cur->right);
        if (cur->left) st.push(cur->left);
    }
    int target = cnt / 2;
    while (pos != &root && target <= 2 * cnt * alpha) {
        pos = st.top(); st.pop();
        cnt--;
    }
    Node *cur = bstFromSortedArray(nodes, 1, cnt);
    if (pos == &root) root = cur;
    else if ((*pos)->key > cur->key) (*pos)->left = cur;
    else (*pos)->right = cur;
}

void ScapeGoatTree::dfs(Node *node) {
    if (!node) return;
    dfs(node->left);
    cout << node->key << " ";
    dfs(node->right);
}

void ScapeGoatTree::print() {
    dfs(root);
}

以上代码中，ScapeGoatTree类表示一个ScapeGoat树，Node类表示ScapeGoat树中的节点。在insert函数中，我们首先遍历ScapeGoat树，找到新节点的插入位置，然后将新节点插入到树中。然后我们会根据当前树的大小和 alpha 值来计算是否需要对树进行重构。在rebuildSubtree函数中，我们会遍历整棵子树，并将节点存入一个 vector 中，然后使用一个简单的二分查找树（BST）从 vector 中建立一棵新树。

总结

ScapeGoat树是一种平衡二叉搜索树，能够在O(log n)的时间复杂度内进行大部分的操作，包括查找、插入和删除等。它的结构与AVL树类似，但是AVL树的平衡条件更加严格，因此ScapeGoat树会比AVL树更快地适应数据集的变化。在ScapeGoat树中插入节点时，我们需要根据树的大小和 alpha 值来判断是否需要对树进行重构，以保持树的平衡性。