Gate-CS-2007 | 第 82 题

这是一道有关于树的问题，出现在 Gate-CS-2007 的考试题目中。题目大意如下：

给出一颗树，对于树中的每个节点，你需要找到它的子树中最大值和次大值之和，求出所有节点的最大值和次大值和的和。

这是一道比较典型的树的遍历与递归问题，我们可以通过后序遍历树并记录每个节点的最大值和次大值，最终统计出答案。

下面是这道题目的解题思路和实现代码：

解题思路

对于这道题题目，我们可以使用后序遍历树的方式计算出每个节点的最大值和次大值，统计出所有节点的最大值和次大值的和即为答案。

具体步骤如下：

1. 对于当前节点 root，递归地处理它所有的子节点，计算出它子树中的最大值和次大值。
2. 计算当前节点 root 的最大值和次大值。它的最大值为它的值与所有子节点的最大值的最大值，次大值为它的值与所有子节点的次大值与最大值之间的最大值。
3. 更新答案，将当前节点 root 的最大值和次大值之和加入到结果中。

最后返回当前节点的最大值和次大值即可。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的递归代码，使用了字典 d 存储每个节点的最大值和次大值，时间复杂度为 $O(n)$：

def solve(root, ans, d):
    if not root: return (0, 0)
    max1, max2 = root.val, float('-inf')
    for child in root.children:
        cmax1, cmax2 = solve(child, ans, d)
        if cmax1 > max1:
            max2 = max(max2, max1)
            max1 = cmax1
        elif cmax1 > max2:
            max2 = cmax1
    d[root] = (max1, max2)
    ans += max1 + max2
    return (max1, max2)
    
def max_sum(root):
    ans = 0
    d = {}
    solve(root, ans, d)
    return ans

总结

这是一道经典的树的遍历和递归问题，在实现过程中需要考虑到各种特殊情况，以及如何利用已计算出的结果避免重复计算。