数学：环、积分域和域

环（Ring）

环是一种数学结构，它是一个非空集合 R 和两种二元运算（加法和乘法）的组合，满足以下条件：

1. R 关于加法构成一个 abelian 群（即交换群），加法单位元为0，每个元素都有加法逆元。
2. R 关于乘法是可结合的。
3. 分配律成立，即对于任意 a, b, c ∈ R, a * (b + c) = a * b + a * c 和 (a + b) * c = a * c + b * c.

例如，整数集合 Z 是一个环。

积分域（Field）

积分域是一种数学结构，它是一个非空集合 F 和两种二元运算（加法和乘法）的组合，满足以下条件：

1. F 关于加法构成一个 abelian 群，加法单位元为0，每个元素都有加法逆元。
2. F 中除了0以外的元素构成一个乘法群，乘法单位元为1，每个元素都有乘法逆元。
3. 乘法分配律成立，即对于任意 a, b, c ∈ F，a * (b + c) = a * b + a * c 和 (a + b) * c = a * c + b * c.

例如，实数集合 R 和有理数集合 Q 都是域。

域扩张（Field Extension）

域扩张指将一个域 K 扩展为 L，L 中包含了 K 中没有的元素，这些元素形成了 L 的子集 S。显然，S 中的元素必须遵循加法和乘法的规则，否则无法构成域。S 是对 K 进行域扩张的基本元素。

下面是一个在实数域上的域扩张的例子：

扩展前的域：R（实数集合）

扩展后的域：C（复数集合）

L 中包含了新的元素 i，即实数乘法群 R* 中的一个元素，它满足 i^2 = -1。加上 i 后，C 就是一个域扩张。

参考资料

• Wikipedia
• MathWorld