到达第 N 个城市所需的最少桥梁

在旅游、交通等领域中，我们经常需要计算从一个城市到另一个城市所需的最少桥梁，以及到达第 N 个城市所需的最少桥梁。这是一个非常经典的算法问题，也是计算机科学中的关键问题之一。

问题介绍

我们假设有 N 个城市，它们之间各有一些桥梁相连。每个桥梁都有一个非负权值，表示跨越这座桥梁所需的路程。现在，我们想要从一个城市出发，到达第 N 个城市，需要经过的最少的桥梁数目是多少？

算法设计

这个问题可以使用动态规划算法来解决。我们可以定义一个长度为 N 的一维数组 dp，其中 dp[i] 表示从起点到达第 i 个城市所需的最少桥梁数目。初始状态下，dp[1] = 0，dp[2, 3, ..., N] = INF，表示到达这些城市需要的桥梁数目未知或无法到达。

接下来，我们可以使用下面的状态转移方程来计算 dp 数组的值：

dp[i] = min(dp[j] + weight(j, i))，其中 j < i，(j, i) 是一座桥梁

这个状态转移方程的含义是，我们可以从之前已经求解出来的 dp[j] 中转移到 dp[i]，如果我们把从 j 到 i 的这座桥梁加入进来。对于每个城市 i，我们枚举所有 j < i 的城市，计算所有可以从 j 到 i 到达的最少桥梁数目。其中 weight(j, i) 表示 j 到 i 的桥梁的权值。

这个算法的时间复杂度为 O(N^2)，空间复杂度也为 O(N^2)。但是，我们可以进一步优化算法的时间和空间复杂度。

优化算法

我们可以使用堆优化的 Dijkstra 算法（称为迪杰斯特拉算法）来优化动态规划算法。这个算法可以在 O(NlogN) 的时间复杂度和 O(N) 的空间复杂度内计算出最短路径。具体地，迪杰斯特拉算法维护一个最小堆 priority_queue，其中包含从起点到每个城市 i 的距离 d[i]。

一开始，我们把每个城市 i 的距离 d[i] 初始化为无穷大，表示不能到达该城市。我们把起点城市 push 进最小堆中，d[起点] = 0。接下来，我们不断从最小堆中取出距离起点最近的城市 j，遍历它的所有邻居城市 i，更新 d[i] = min(d[i], d[j] + weight(j, i))。

最终，当我们从最小堆中取出第 N 个城市时，它的 d[N] 就是从起点到 N 的最短路径长度。

总结

到达第 N 个城市所需的最少桥梁数目是一个经典的算法问题，可以使用动态规划算法和迪杰斯特拉算法来解决。这两种算法都能够达到非常高的时间和空间效率，可以用来处理大规模的实际问题。