矩阵中最大和的锯齿形序列

问题描述

给定一个矩阵，找到一个锯齿形的序列，使得序列中的每个元素都在矩阵中连续的行或连续的列上，并且序列中的元素之和是最大的。

举个例子，对于如下的矩阵：

3  5  9  1
2  4  6  8
1  6  3  7

元素 5 6 7 6 就是一个锯齿形序列，并且序列的元素之和为 24，这个和是所有锯齿形序列中最大的。

解决方案

我们可以使用 动态规划的方法来解决该问题。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j][0] 表示从行0至第i行和列0至第j列所构成的锯齿形序列中，最后一个元素在第i行的最大和；dp[i][j][1] 表示最后一个元素在第j列的最大和。

那么根据该定义，我们可以得到状态转移方程：

dp[i][j][0] = max(dp[k][j-1][1] + sum(0, i)), 0 <= k <= i-1
dp[i][j][1] = max(dp[k][i-1][0] + sum(0, j)), 0 <= k <= j-1

其中 sum(x, y) 表示从第x行/列，到第y行/列的所有元素之和。

最后，我们只需要遍历 dp 数组，找出其中最大值即可。

以下是 Python 代码实现：

def max_zigzag_sum(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[[0, 0] for _ in range(n)] for _ in range(m)]

    for i in range(m):
        for j in range(n):
            # 处理第一列和第一行
            if i == 0 and j == 0:
                dp[i][j][0] = dp[i][j][1] = matrix[0][0]
            elif i == 0:
                # 第一行
                dp[i][j][0] = dp[i][j-1][1] + matrix[i][j]
                dp[i][j][1] = dp[i][j-1][1]
            elif j == 0:
                # 第一列
                dp[i][j][1] = dp[i-1][j][0] + matrix[i][j]
                dp[i][j][0] = dp[i-1][j][0]
            else:
                dp[i][j][0] = max(dp[k][j-1][1] + sum(matrix[k+1:i+1][j]), 0 <= k <= i-1)
                dp[i][j][1] = max(dp[k][i-1][0] + sum(matrix[i][k+1:j+1]), 0 <= k <= j-1)
    return max(dp[-1][-1])

测试样例

我们可以使用以下测试样例来检验算法的正确性：

matrix = [
    [3, 5, 9, 1],
    [2, 4, 6, 8],
    [1, 6, 3, 7]
]
assert max_zigzag_sum(matrix) == 24

时间复杂度

由于算法中需要遍历整个矩阵，并进行计算，因此时间复杂度为 $O(m^2 n^2)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为矩阵的行数和列数。