查找总和为给定金额的最小纸币和价值数量

这个问题可以被视为一个变种的背包问题。给定一组纸币面值，我们需要从中选出若干张纸币，使它们的总和等于给定金额，且所选的纸币数量最少。

分析

设给定的纸币面值为 coins，大小为 n，要求组成的总金额为 amount。

我们可以使用动态规划来求解问题。我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在只使用前 i 种纸币，凑出金额 j 的最小纸币数量。

最终的答案即为 dp[n][amount]。

对于 dp[i][j]，有两种情况：

如果我们不选第 i 种纸币（下标从 0 开始），那么它的值就是 dp[i-1][j]。

如果我们选第 i 种纸币，那么它的值就是 dp[i][j-coins[i-1]] + 1，其中 dp[i][j-coins[i-1]] 表示使用当前纸币面值减去当前金额的最小纸币数量，再加上当前选中的纸币一张。

要使数量最小，我们只需要在两种情况中选择较小值即可。

具体实现上，我们可以先把数组所有元素初始化为一个较大的值，如 amount + 1。

dp = [[amount + 1] * (amount + 1) for _ in range(n + 1)]

然后将 dp[i][0] 都赋值为 0，因为凑出金额 0 的最小纸币数量为 0。

对于其他元素，按照上面的动态转移方程计算即可。

最后，如果 dp[n][amount] 仍然等于 amount + 1，说明无法凑出指定金额，返回 -1，否则返回 dp[n][amount]。

代码

以下是 Python 代码实现：

def coin_change(coins, amount):
    n = len(coins)
    dp = [[amount + 1] * (amount + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, amount + 1):
            if j < coins[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-coins[i-1]] + 1)
    return dp[n][amount] if dp[n][amount] <= amount else -1

总结

本题是一个比较典型的动态规划问题，难度适中。需要注意初始化数组元素的值，以及最终返回值的处理。