计算具有个位数整数和 K 的 Array 的子序列

介绍

本篇文章将介绍如何计算具有个位数（0-9）整数和K的数组的子序列。子序列是指从给定的数组中选择一些数字，这些数字不一定是连续的，但必须按照它们在原始数组中的顺序排列。例如，对于数组[1,2,3,4]，其子序列可以是[1,2]、[1,3,4]、[2,3]等。

解决方案

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示当前考虑的数字的下标，j表示目前为止我们已经选择的数字的和。由于数组中的数字都是个位数，所以j的范围是0到9。

具体来说，我们有以下状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i-1]]

其中，nums[i-1]表示原始数组中的第i个数字。这个方程的意思是，我们可以选择不选第i个数，这种情况下，子数组的和为j不变，也可以选择第i个数，这个数的值加上之前选择的数字的和为j-nums[i-1]。

当我们处理完整个数组后，dp[len][K]即为所求的答案，其中len表示数组的长度。

下面是该算法的Python实现：

def count_subarrays(nums, K):
    n = len(nums)
    dp = [[0]*10 for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(10):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + (dp[i-1][j-nums[i-1]] if j>=nums[i-1] else 0)
    return dp[n][K]

算法分析

时间复杂度：$O(nK)$，其中n为数组的长度，K为数组中数字的和。需要遍历整个dp数组，时间复杂度为$O(nK)$。

空间复杂度：$O(nK)$，需要一个n+1*10的二维数组来记录状态。

总结

本文介绍了如何计算具有个位数整数和K的数组的子序列。我们采用了动态规划的方法，定义一个二维数组来记录状态，利用状态转移方程依次计算出所有的dp[i][j]。通过该算法，我们可以在$O(nK)$的时间复杂度内解决该问题。