帕里克定理

帕里克定理（Patrick's Theorem）是一个应用于计算几何的定理，它描述了三条相互垂直的直线的几何关系。

定理描述

假设有三条互相垂直的直线 $L_1, L_2, L_3$，分别与平面上的三个不共线的点 $A,B,C$ 相交。设 $D,E,F$ 分别是 $L_1,L_2,L_3$ 上与 $BC,AC,AB$ 垂直的交点，则有：

$$ \frac{BD \cdot CE \cdot AF}{CD \cdot EA \cdot FB} = 1 $$

应用

帕里克定理可以用于计算几何问题中的一些距离比例。例如，若已知 $AB,BC,AC$ 的长度，则可以通过求出 $BD:DC,CE:EA,AF:FB$ 的比值，利用帕里克定理计算出三角形的内心、正三角形的重心等点在三角形中的位置。

帕里克定理也被应用在线性代数中，用来描述一个三维空间内的三个向量的长度和方向的关系。

实现方法

实现帕里克定理的方法是利用向量和叉积的形式表达。设三条直线的方向向量分别为 $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$，三个点 $A,B,C$ 的位置向量分别为 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$。则有：

$$ \begin{aligned} \vec{u} &= \vec{b} - \vec{c} \ \vec{v} &= \vec{c} - \vec{a} \ \vec{w} &= \vec{a} - \vec{b} \end{aligned} $$

通过向量的叉积可以计算出与 $L_1,L_2,L_3$ 垂直且方向与它们相同的向量 $\vec{d},\vec{e},\vec{f}$。则有：

$$ \begin{aligned} \vec{d} &= \vec{v} \times \vec{w} \ \vec{e} &= \vec{w} \times \vec{u} \ \vec{f} &= \vec{u} \times \vec{v} \end{aligned} $$

这些向量之间的长度关系可以表示为：

$$ \frac{\lVert \vec{b} - \vec{c} \rVert}{\lVert \vec{d} \rVert} : \frac{\lVert \vec{c} - \vec{a} \rVert}{\lVert \vec{e} \rVert} : \frac{\lVert \vec{a} - \vec{b} \rVert}{\lVert \vec{f} \rVert} = 1 : \frac{BD}{DC} : \frac{CE}{EA} : \frac{AF}{FB} $$

其中 $BD:DC,CE:EA,AF:FB$ 分别表示 $D,E,F$ 到对边的距离比值。将其代入帕里克定理的公式即可求出三者的乘积等于 $1$。

参考资料

1. 帕里克定理 - 维基百科，自由的百科全书
2. 帕里克定理 - OI Wiki