去除任意一个元素得到的最大连续递减序列

在本文中，我们将介绍一个问题，即如何找出一个数组中去除任意一个元素所能得到的最大连续递减序列。

问题描述

给定一个长度为n的整数数组nums，找出去除其中任意一个元素后，剩余元素可以组成的最大连续递减序列的长度。

例如，对于数组 nums = [10, 5, 2, 6, 1]，去除任意一个元素后最大的连续递减序列为 [10, 5, 2, 1] 或 [5, 2, 1, 6] 或 [10, 2, 1, 6]，长度为4。

解法

要解决这个问题，我们可以考虑如何为每个数字找到其左侧和右侧的最长递减子序列。

具体来说，对于每个位置i，我们可以分别计算它左侧和右侧的最长递减子序列长度：

1. 首先，我们可以从左到右遍历数组nums，对于每个位置i，我们可以考虑从0到i-1的所有位置，找到其中最后一个小于nums[i]的位置j。那么，以i位置结尾的最长递减子序列的长度为dp_left[i] = dp_left[j] + 1。

2. 同样地，我们也可以从右到左遍历数组nums，对于每个位置i，我们可以考虑从n-1到i+1的所有位置，找到其中最后一个小于nums[i]的位置j。那么，以i位置开头的最长递减子序列的长度为dp_right[i] = dp_right[j] + 1。

最后，对于每个位置i，我们可以计算出去除nums[i]后能够组成的最长递减子序列的长度为dp_left[i-1] + dp_right[i+1]，并从中取最大值即可。

时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。如果使用二分查找可以将时间复杂度降为O(nlogn)。

def maxSubseq(nums):
    n = len(nums)
    dp_left = [1] * n
    dp_right = [1] * n

    # 计算dp_left
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp_left[i] = max(dp_left[i], dp_left[j] + 1)

    # 计算dp_right
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(n - 1, i, -1):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp_right[i] = max(dp_right[i], dp_right[j] + 1)

    # 计算最大值
    ans = 0
    for i in range(1, n-1):
        ans = max(ans, dp_left[i-1] + dp_right[i+1])

    return ans

总结

本文介绍的是一个求解'去除任意一个元素得到的最大连续递减序列'问题的算法：

• 首先，我们向左和向右分别计算每个位置的最长递减子序列；
• 然后，我们在每个位置i处计算去除nums[i]后的最长递减子序列，取其中的最大值；
• 最后，返回所有最大值中的最大值。

该算法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)；如果使用二分查找可以将时间复杂度降为O(nlogn)。