最大化任意两个人之间的最小差异

介绍

在监狱里，很多时候需要把囚犯放入牢房中。为了确保囚犯之间的和谐，通常需要把他们分配到不同的牢房中。我们的目标是将囚犯放入牢房，以最大化任何两个人之间的最小差异。

解决方案

这个问题可以使用贪心算法来解决。首先将囚犯按照某个属性排序，比如说年龄，然后逐个将他们放入牢房中。对于每个囚犯，我们都选一个差异最小的牢房来放置他。

具体地，我们可以用一个小根堆来维护当前所有可用的牢房，以及这些牢房中最小的差异。每次需要放置一个囚犯时，我们将堆顶的牢房取出，放置囚犯，然后再将这个牢房重新加入堆中。

代码如下：

import heapq

def allocate_prisoners(prisoners, rooms):
    prisoners.sort()  # 按照某个属性排序，这里假设已经排好了
    heap = [(diff, room_id) for room_id, (count, diff) in rooms.items()]
    heapq.heapify(heap)
    result = {}
    
    for prisoner in prisoners:
        diff, room_id = heapq.heappop(heap)
        result.setdefault(room_id, []).append(prisoner)
        count, _ = rooms[room_id]
        count -= 1
        if count > 0:
            rooms[room_id] = (count, diff)
            heapq.heappush(heap, (diff, room_id))
    
    return result

输入输出格式

下面是程序的输入输出格式。

输入格式

输入格式为一个二元组 (prisoners, rooms)，其中：

• prisoners 是一个列表，表示所有囚犯的属性。
• rooms 是一个字典，表示所有可用的牢房。字典的键是牢房编号，值是元组 (count, diff)，表示该牢房的剩余容量和当前囚犯和其他囚犯的最小差异。

输出格式

输出格式为一个字典，表示所有囚犯最终所在的牢房。字典的键是牢房编号，值是一个列表，表示该牢房中的所有囚犯。

下面是输入输出格式的示例。

输入

(prisoners=[18, 15, 20, 17, 19, 16], rooms={0: (2, 2), 1: (2, 1), 2: (2, 3)})

输出

{0: [15, 16], 1: [17, 18], 2: [19, 20]}

性能分析

这个算法的时间复杂度是 $O(N \log K)$，其中 $N$ 是囚犯的数量，$K$ 是牢房的数量。这是因为我们需要对所有囚犯排序，然后对每个囚犯都进行一次堆操作，而堆的大小最多为牢房的数量 $K$。空间复杂度是 $O(N)$，因为我们需要维护每个牢房中的囚犯列表。

总结

本文介绍了如何将囚犯放入牢房，以最大化任何两个人之间的最小差异。我们使用了贪心算法，并给出了 Python 代码的实现。此外，我们还讨论了输入输出格式和算法的性能分析。