通过删除最后一张给定的N张牌来找到赢得比赛的玩家

介绍

这个问题可以被称为逆推问题。假设有n张牌，每个人每次取k张牌，最后只剩下一张牌的人胜利。那么问题就是如果知道n和k，如何找到胜利者最开始拿的牌的编号。

在这个问题中，我们从简单的情况开始递推，逐渐增加难度。在每一步中，我们都将通过逆推来找到胜利者最开始拿的牌的编号。

算法

当k=1时

当k=1时，每个人只能拿一张牌，因此胜利者是最后一张牌的拥有者。因此，我们可以返回n。

def winner(n):
    return n

当k>1时

当k>1时，我们需要从简单的情况开始逐步逆推。因此，我们对k>1设置一个基准情况k=2。在这种情况下，胜利者的编号是1或2，具体取决于n的奇偶性。

def winner(n):
    if n % 2 == 0:
        return 2
    else:
        return 1

在这个基准情况下，我们可以列出一个表格，展示每个人取得哪些牌：

| Player | Cards | Winner | | :---: | :---: | :---: | | 1 | 1, 2, 3, ..., n-1, n | 2 | | 2 | 1, 2, 3, ..., n-1, n | 1 |

我们可以看到，在这个情况下，胜利者拿了最后一张牌。在下一个情况下，我们将考虑k=3。

当k=3时

当k=3时，我们需要用到之前推导出的基准情况k=2。在k=2的情况下，可以算出胜利者拿到的是1还是2。在k=3的情况下，我们需要做的是将这些数字排成一排，并在每个数字上放置一个箭头表示下一个数字是哪个。例如，n=7，k=3的情况下，数字为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，箭头放在每个数字下面的位置为：

1 -> 4 -> 7 -> 3 -> 6 -> 2 -> 5

最后一个数字是5，因此胜利者拿到的数字为5。我们可以将其表示为以下代码：

def winner(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif n == 3:
        return 2

    if n % 2 == 0:
        return 2 * winner(n // 2) - 1
    else:
        return 2 * winner(n // 2) + 1

当k>3时

如果k>3，我们可以运用同样的逆推方法。我们可以依次计算k=2、k=3、k=4等，直到k=n-1。当k=n-1时，我们已经得到了胜利者最开始拿的牌的编号。

def winner(n, k):
    if k == 1:
        return n
    elif k == 2:
        if n % 2 == 0:
            return 2
        else:
            return 1

    if k > n:
        k = n - 1

    winners = list(range(1, n + 1))
    current = 0
    while len(winners) > 1:
        current = (current + k - 1) % len(winners)
        winners.pop(current)

    return winners[0]

总结

逆推是解决问题的常见方法之一。在这个问题中，我们通过从简单的情况开始逐渐增加难度的方式，使用逆推来找到胜利者最开始拿的牌的编号。我们可以用同样的方法来解决其他逆推问题。