矩阵对角元素的Kth最高XOR

简介

本题目要求在一个矩阵中，寻找对角元素的二进制表示下第 K 高的异或值。具体来说，我们先将对角线上的元素按照二进制位看做长度为 L 的串，然后求出所有可能的 L 位异或值，并将其从大到小排序，输出第 K 个。

示例

举个例子，考虑如下矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

其对角线上的元素为 1, 5, 9，转化为二进制后为 001, 101, 1001，异或后得到的所有值如下：

001 ^ 101 = 100
001 ^ 1001 = 1000
101 ^ 1001 = 1100
001 ^ 101 ^ 1001 = 1100

从大到小排序后得到的结果为 1100, 1000, 100, 0，第 K 个值即为 100。

解法

考虑如何求出所有可能的 L 位异或值，一种朴素的做法是使用递归。假设现在已经得到了 [L + 1, n] 位异或值（其中 n 表示对角线元素的长度），那么对于长度为 L 的情况，我们可以将其看做是一个两个长度为 L - 1 的子问题的异或，加上一位 0 或 1，得到 f(L, n) = {f(L-1, n-1) ^ f(L-1, n-2) ^ ((01...1) << (L-1))} union {f(L-1, n-1) ^ f(L-1, n-2) ^ ((10...0) << (L-1))}，其中 << 表示左移操作，union 表示两个集合的并集。

到这一步后，我们可以直接排序后输出第 K 个。但是如果这样做的话，时间复杂度显然是不可接受的，因为矩阵可能非常大，很有可能无法在规定的时间限制下完成运算。于是我们需要进行一些优化。

首先，有一个比较显然的性质，那就是如果对于一个二进制串，它的某一位上出现了一个 1，那么它一定会出现在所有长度比它更大的异或值中。也就是说，如果我们已经得到所有长度为 L - 1 的异或值，那么我们只需要再找到所有长度为 L 的二进制串最高位为 1 的，然后通过上述公式计算出其它 L 位的异或值，就可以得到所有长度为 L 的异或值了。

我们可以将所有长度为 L 的二进制串分成两个部分，一部分是最高位是 1，另一部分是最高位为 0。对于前面的部分，我们可以使用同样的公式递归计算。对于后面的部分，我们可以在每一次计算时略去最高位，转化为求长度为 L - 1 的问题。这样做的时间和空间复杂度都可以达到 O(L * K)，非常快。

例程

下面是一个简单的 Python 代码，用于实现上述算法。

def get_diag_xor(matrix, k):
    n = len(matrix)
    bits = []
    for i in range(n):
        bits.append((1 << (matrix[i][i].bit_length() - 1), matrix[i][i]))
    bits.sort(reverse=True)
    bits = bits[:k]
    lores = {bit: {i: {j: [] for j in range(2)} for i in range(n - bit)}} for bit, v in bits}
    hires = {bit: {i: [] for i in range(n - bit)} for bit, v in bits}
    for bit, val in bits:
        for i in range(n - bit):
            val_a, val_b = matrix[i][i + bit], matrix[i + bit][i]
            for j in range(2):
                for k in range(2):
                    lores[bit][i][j ^ k].append((j << bit) ^ val ^ (val_a >> k) ^ (val_b << (bit - k)))
            for j in range(2):
                hires[bit][i ^ j].append(j << bit)
    ans = 0
    visited = set()
    for bit, val in bits:
        heap = []
        for i in range(n - bit):
            if len(hires[bit][i]) > 0:
                heap.append((-hires[bit][i][0], i, 0))
        heapq.heapify(heap)
        cnt = 0
        while cnt < k:
            _, i, j = heapq.heappop(heap)
            if (i, j) in visited:
                continue
            visited.add((i, j))
            ans = lores[bit][i][j][cnt]
            if j + 1 < len(hires[bit][i]):
                heapq.heappush(heap, (-hires[bit][i][j + 1], i, j + 1))
            if i + 1 < n - bit and len(hires[bit][i + 1]) > j:
                heapq.heappush(heap, (-hires[bit][i + 1][j], i + 1, j))
            cnt += 1
    return ans

该代码中的 get_diag_xor(matrix, k) 函数接受一个矩阵和一个整数 k 作为参数，返回对角线元素的第 k 高位异或值。该函数先将对角线元素按照二进制位从大到小排序，并仅保留前 k 个，然后针对每个二进制位，使用动态规划的方法计算出其所有长度为 L 的异或值，同时记录下长度为 L 的二进制串最高位为 1 的元素，并用堆来处理它们。最后，从所有长度为 L 的异或值中输出第 k 个即可。

总结

通过本题的介绍，我们可以看到异或算法的一些优秀性质，以及如何利用动态规划和堆优化计算。相信这些经验可以帮助大家解决日常开发中的许多实际问题。