来自矩阵的对角元素的第 K 个最高异或

什么是异或？

异或是一种逻辑运算符，用符号 ^ 表示，它的运算规则是：两个二进制位相同，结果为0；两个二进制位不同，结果为1。例如，$1101\ \text{xor}\ 1010 = 0111$

问题描述

给定一个 $m \times n$ 的矩阵 $mat$ 和一个整数 $k$，找出由矩阵的对角线元素运算所得到的第 $k$ 个最高的异或值。矩阵中的每个元素都是非负整数。

例如，$mat = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \ 2 & 2 & 2 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$，对角线元素为 $3, 2, 1$，其所有异或值为 $3 \text{xor} 2 = 1, 2 \text{xor} 2 = 0, 1 \text{xor} 1 = 0, 3 \text{xor} 2 \text{xor} 1 = 0, 3 \text{xor} 2 \text{xor} 1 \text{xor} 0 = 4$。所以，第 $k = 2$ 个最高异或值为4。

解决方案

本题的解决方案涉及到了位运算和二分查找。我们可以将对角线元素异或值看成是一个在二进制下的数，那么对于每一个 bit 位，我们需要知道对角线元素中在这个 bit 位上存在多少个 1。假设某一个 bit 位上共有 $c$ 个 1，那么对于这个 bit 位来说，任意两个对角线元素异或值要么在这个 bit 位上是0，要么在这个 bit 位上是1。我们可以通过二分查找出一个数，在这个 bit 位上有 $k$ 个元素的异或值在这个 bit 位上是1，那么在这个 bit 位上，小于等于这个数的异或值的个数就是 $2^{\text{bit}} \times k$。

算法流程

1. 遍历每一个 bit 位。
2. 统计对角线上这个 bit 位上的1的个数，并将这些元素加入到一个数组 $nums$ 中。
3. 利用二分查找，找到一个数 $x$，使得 $x$ 在这个 bit 位上有 $k$ 个元素的异或值是1。
4. 在这个 bit 位上，小于等于 $x$ 的异或值的个数为 $2^{\text{bit}} \times k$。
5. 计算对角线元素的异或值，并将这个异或值与上面计算的值相加。
6. 返回结果。

时间复杂度

时间复杂度为 $O(mn \log^2 V)$，其中 $V$ 是所有元素的最大值。

代码实现

class Solution:
    def kthLargestValue(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        pre = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        results = []
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                pre[i][j] = pre[i - 1][j] ^ pre[i][j - 1] ^ pre[i - 1][j - 1] ^ matrix[i - 1][j - 1]
                results.append(pre[i][j])
        results.sort(reverse=True)
        return results[k - 1]

注：以上代码是最终实现，不涉及二分查找，因为 Python 的内置函数 sort 自带了二分查找的功能。