由至少一个黑边组成的长度为 K 的节点序列的计数

在图论中，我们经常需要计算从一个节点出发，长度为K的所有路径中，至少有一条黑边的路径数。本文将介绍如何使用动态规划来解决这个问题。

动态规划思路

假设我们已经求出长度为K-1的所有节点路径，现在需要计算长度为K的节点路径，我们可以对于每个节点u，分别计算它的所有K长路径中，至少有一个黑边的路径数 count(u)。那么最终的解就是所有节点的 count(u) 的和。

那么如何计算 count(u) 呢？我们可以枚举 u 的所有邻居节点 v，对于每个 v，判断是否存在一条从 v 到 u 的黑边 e。如果存在这样的边 e，那么 count(u) 可以加上 count(v)；否则就算不上，count(u) 不变。最终 count(u) 就是所有符合要求的 v 的 count(v) 之和。

考虑边界条件，长度为1的路径只有黑边，所以所有节点的 count(u) 初始值都为0，除了黑边相邻的两个节点，它们的 count(u) 初始化为1。

综上，我们可以得到以下递推式：

$$ count(u) = \begin{cases}1, &len(u)=1 \text{ 且 }u \text{ 与黑色相邻}\0, &len(u)=1 \text{ 且 }u \text{ 不与黑色相邻}\ \sum_{v \in adj(u)} count(v), &\exists e(u, v) \text{ 为黑边}\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad0, &otherwise \end{cases} $$

其中 $len(u)$ 是指从起点到节点u的路径长度。

优化

上述算法的时间复杂度是 $O(K|E|)$，其中$|E|$是图中边的数量，这个复杂度有些高。可以发现，这个算法存在大量的重复计算，因为从u节点出发长度为K的路径，大多数都是从u的邻居节点v出发长度为K-1的路径演化而来的。因此我们可以使用记忆化搜索的方法来避免重复计算，将时间复杂度优化到 $O(K|V|)$。

具体做法是使用一个数组 $dp[len][u]$ 来记录长度为len，起点为u的count值，并在计算dp[len][u]之前先检查它是否已经计算过。如果已经计算过，则直接返回保存的值。

代码实现

from collections import defaultdict

def count_paths_with_black_edge(graph, K):
    '''计算所有长度为K，至少有一条黑边的路径数'''
    count = defaultdict(lambda: 0)
    black_edges = set()
    for u, v, is_black in graph:
        if is_black:
            black_edges.add((u, v))

    # 初始值
    for u, v in black_edges:
        count[u] = count[v] = 1

    # 动态规划
    for len in range(2, K+1):
        dp = defaultdict(lambda: 0)
        for u, v, is_black in graph:
            if is_black and (u, v) not in black_edges:
                dp[u] += count[v]
                dp[v] += count[u]
        count.update(dp)
    return sum(count.values())

总结

本文介绍了如何使用动态规划解决计算长度为K，至少有一条黑边的路径数问题，时间复杂度为 $O(K|E|)$，优化后可以将时间复杂度降低到 $O(K|V|)$。代码实现基于Python语言。