查找二进制矩阵中是否存在角为1的矩形

在二进制矩阵中查找角为1的矩形是一种经典的计算机科学问题。这个问题的基本思想是在一个由0和1组成的矩阵中查找由四个角组成的1的矩形。这里提供一种基于暴力搜索的解法，并讲解如何利用哈希表提高搜索效率。

暴力搜索

最基本的解法是暴力搜索。该算法从左上角的位置开始，依次遍历矩阵中的每个1，查找是否存在一个由四个角组成的1的矩形。具体实现可以使用双重循环来枚举左上角和右下角的位置，然后使用两个循环来枚举两个相邻的边界，最后检查四个角上是否都是1。

def has_corner(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                for k in range(i+1, m):
                    for l in range(j+1, n):
                        if matrix[i][l] == 1 and matrix[k][j] == 1 and matrix[k][l] == 1:
                            return True
    return False

该算法的时间复杂度为$O(n^4)$，空间复杂度为$O(1)$。虽然该算法不是最优解，但是它是一种值得思考的基础解法。

哈希表优化

通过使用哈希表，可以将暴力搜索算法的时间复杂度降低到$O(n^2)$。对于每行的1，将其保存在哈希表中，以列号作为键。这样，对于每对列号$i$和$j$，可以交换其行和列的顺序，并从哈希表中查找相应的行。如果找到可行解，则返回True。

def has_corner(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    rows = [{} for i in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                rows[i][j] = True
    for i in range(m):
        for j in range(i+1, m):
            corners = set(rows[i]) & set(rows[j])
            for c in corners:
                if all(matrix[k][c] == 1 for k in range(i+1, j)):
                    return True
    return False

具体实现过程如上述代码所示。该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$，是一种效率较高的解法。

结论

在本文中，我们实现了两种算法来查找由四个角组成的1的矩形。暴力搜索算法的时间复杂度为$O(n^4)$，空间复杂度为$O(1)$；而哈希表算法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$。显然，哈希表算法比暴力搜索算法具有更高的效率，可以处理更大的二进制矩阵。