线性代数 – ML中的基向量

什么是基向量

在多维空间中，向量可以用一组基向量的线性组合来表示。基向量是指空间中的一个向量集合，该集合中的向量可以通过线性组合生成整个空间的向量。

在机器学习领域中，基向量通常被用来构建特征向量空间。特征向量空间是指样本数据中的所有数据点组成的向量空间，其中每一个数据点都是一个多维向量。在特征向量空间中，每个基向量都代表着一种特征。

如何构建基向量

要构建基向量，需要选择一组线性无关的向量作为基向量。线性无关的向量之间不能用一个向量的线性组合来表示另一个向量。

在多维空间中，我们通常使用标准基向量作为基向量，即在一个维度上只有一个元素为1，其他元素都为0的向量。例如，在二维空间中，标准基向量是(1,0)和(0,1)。这两个向量是线性无关的，因为它们不能用一个向量的线性组合来表示另一个向量。

在实际应用中，我们可以根据实际问题选择不同的基向量。例如，在图像处理中，我们可以将图像切割成一组小的分块，然后将每个分块看作特征。这样，我们就可以使用每个分块的像素值来构建基向量。

基向量的应用

基向量在机器学习领域中有着广泛的应用，特别是在降维和分类问题中。

在降维问题中，我们通常使用PCA（Principal Component Analysis）算法将高维特征空间映射到一个低维空间中。PCA算法在计算主成分时，需要找到让样本数据方差最大的方向，这个方向就是基向量。

在分类问题中，我们通常使用SVM（Support Vector Machine）算法寻找最优的决策边界。决策边界可以用一组线性方程来表示，其中每个方程都对应着一个基向量。

总结

基向量是机器学习领域中一个重要的概念，它可以用来构建特征向量空间，降维和分类问题等。在实际应用中，我们可以根据实际问题选择不同的基向量，以适应不同的场景。