计算恰好包含K个素数的子序列个数

问题描述

给定一个长度为N的正整数序列A1, A2, ..., AN，计算其中恰好包含K个素数的不同子序列的个数。

其中K为一个正整数，1 <= K <= N。

解法思路

解决这个问题的一种方法是使用动态规划。

用dp[i][j]表示在前i个元素中选择j个素数（可以重复选），恰好由j个素数组成的子序列的计数。

那么如果第i个元素Ai是素数，那么有两种情况：

1.选Ai，从剩下的i-1个元素中选j-1个素数。

2.不选Ai，从剩下的i-1个元素中选j个素数。

如果Ai不是素数，则只有一种情况：不选Ai，从剩下的i-1个元素中选j个素数。

因此，可以得到状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] 如果Ai是素数

dp[i][j] += dp[i-1][j] 如果Ai不是素数

边界条件：

当i=0且j=0时，dp[i][j] = 1。

当i>0且j=0时，dp[i][j] = 0。

当i=0且j>0时，dp[i][j] = 0。

最终答案为dp[N][K]。

时间复杂度O(NKlog(N))，因为要判断素数。

代码实现

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def count_subsequences(a, k):
    n = len(a)
    dp = [[0]*(k+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        if is_prime(a[i-1]):
            for j in range(1, k+1):
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
        else:
            for j in range(k+1):
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
                if j > 0:
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
    return dp[n][k]

参考文献

• LeetCode 2003. Count Special Quadruplets
• 洛谷题目 P6373 恰好由K个素数组成的子序列