使用向量从点到线段的最小距离

背景介绍

在计算机图形学中，我们经常需要计算一个点到一条线段的最小距离。例如，在计算机游戏中，我们需要判断一个角色是否与一条墙碰撞。这种距离计算可以用向量来实现。

实现方法

1. 首先，需要计算点到线段的投影点。
2. 然后，计算点到投影点的向量。
3. 最后，计算点到线段的最短距离，即为点到线段的最小距离。

第一步：计算点到线段的投影点

我们可以使用向量来计算点到线段的投影点。具体来说，我们可以把线段表示为一个向量$\vec{v}$，再将点表示为一个向量$\vec{p}$，那么点到线段的投影点即为$\vec{q}$。

代码:

def get_projection_point(v, p):
    # 计算线段的单位向量
    v_norm = v / np.linalg.norm(v)
    # 计算点到线段开始点的向量
    p_start = p - v[0]
    # 计算点到投影点的向量
    q = np.dot(p_start, v_norm) * v_norm + v[0]
    return q

第二步：计算点到投影点的向量

得到投影点之后，我们可以计算点到投影点的向量。具体来说，点到投影点的向量为$\vec{pq}$。

代码:

def get_vector_pq(p, q):
    pq = q - p
    return pq

第三步：计算点到线段的最短距离

最后，我们需要计算点到线段的最短距离。具体来说，我们可以计算点到投影点的距离$\left | \vec{pq} \right |$。如果$\vec{p}$到投影点$\vec{q}$的向量在$\vec{v}$上的投影点不在$\vec{v}$的范围内，则点到线段的最短距离为$\left | \vec{pq} \right |$与$\left | \vec{p} - \vec{v_1} \right |$中的较小值。

代码:

def distance_to_segment(v, p):
    # 获得投影点
    q = get_projection_point(v, p)
    # 获得点到投影点的向量
    pq = get_vector_pq(p, q)
    # 计算点到投影点的距离
    d = np.linalg.norm(pq)
    # 判断投影点是否在线段的范围内
    if np.dot(p - v[0], v / np.linalg.norm(v)) < 0:
        d = np.linalg.norm(p - v[0])
    elif np.dot(p - v[1], v / np.linalg.norm(v)) > 0:
        d = np.linalg.norm(p - v[1])
    return d

总结

通过对向量的计算，我们可以很轻松地计算点到线段的最小距离。这种方法在计算机图形学中非常常见，对于计算机游戏等应用具有重要作用。