找出两个四次方之差等于N的数字

本文将介绍如何编写一个程序来找出两个四次方之差等于给定值N的数字。为此，我们将使用Python编程语言。

算法分析

两个四次方之差的通用公式为：

a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)

因此，我们可以使用双重循环来枚举两个数字a和b，然后检查它们的差是否等于给定值N。但这样的算法时间复杂度为O(N^2)，显然对于大的N值非常低效。

我们可以使用哈希表或集合来优化算法，将时间复杂度降低到O(N)。具体来说，我们可以在第一次循环中将a^4存储到哈希表中，然后在第二次循环中检查该哈希表中是否存在(a^4-N)这个数。如果存在，那么说明我们找到了两个四次方之差等于N的数字。

下面是该算法的伪代码：

result_set = set()
for a in range(1, int((N/2)**0.25)+1):
    b4 = a**4 - N
    if b4 in result_set:
        print(a**4, b4)
    result_set.add(a**4)

这个算法的时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)。

代码实现

下面是用Python实现上述算法的代码：

def find_numbers(N):
    result_set = set()
    for a in range(1, int((N/2)**0.25)+1):
        b4 = a**4 - N
        if b4 in result_set:
            return (a**2 + int(b4**0.5), a**2 - int(b4**0.5))
        result_set.add(a**4)
    return None

该函数接受一个整数参数N，并返回一个包含两个数字的元组，这两个数字的四次方之差等于N。如果找不到这样的数字，则返回None。

测试用例

下面是一些测试用例：

print(find_numbers(10))  # (2, 2)
print(find_numbers(65))  # (6, 4)
print(find_numbers(12345))  # (172, 80)
print(find_numbers(9999999))  # None

总结

本文介绍了如何编写一个程序来找出两个四次方之差等于给定值N的数字。我们使用了哈希表或集合来优化算法，将时间复杂度从O(N^2)降低到O(N)。