计算不超过N的数字，其中至少包含一个重复的数字

本篇文章介绍如何编写一个函数，计算不超过N的数字中，至少包含一个重复的数字的数字个数。例如，对于N=20，答案是9，因为从1到20中，有9个数至少包含一个重复的数字。

实现思路

本题可以通过枚举所有数字，然后检查每个数字是否至少包含一个重复的数字来解决。但是这种解法的时间复杂度是O(NlogN)，因为每个数字的位数最多是logN，我们需要对每个数字进行O(logN)时间的检查。本文介绍的是一种时间复杂度为O(logN)的解法。

我们可以先考虑如何计算1到N之间，有多少个数字不包含重复的数字。

假设有一个长度为len的数字N，我们分别考虑数字的每一位。对于每一位，我们可以用高位和低位的方式把N分成两个部分：

• 高位：从最高位到当前位的下一位，例如对于数字12345，当前位是百位，那么高位就是12。
• 低位：从当前位到最低位，例如对于数字12345，当前位是百位，那么低位就是345。

假设当前位的数字是x，那么有以下三种情况：

• 如果x==0，那么当前位可以是1到9中的任意一个数字，所以有9个选择。如果高位中都没有数字，那么低位可以是1到9中的任意一个数字，所以有9^(len-1)种选择。如果高位中有数字，那么低位可以是0到9中的任意一个数字，所以有10^(len-2)种选择。综上，当前位对答案的贡献是9*(9^(len-1)+10^(len-2))。
• 如果x==1，那么当前位可以是0到9中的任意一个数字，所以有1+9种选择。如果高位中都没有数字，那么低位可以是1到9中的任意一个数字，所以有9^(len-1)种选择。如果高位中有数字，那么低位可以是0到9中的任意一个数字，所以有10^(len-2)种选择。综上，当前位对答案的贡献是1*(9^(len-1)+10^(len-2))+9*(9^(len-1)+10^(len-2))。
• 如果x>=2，那么当前位可以是0到9中的任意一个数字，所以有10种选择。如果高位中都没有数字，那么低位可以是1到9中的任意一个数字，所以有9^(len-1)种选择。如果高位中有数字，那么低位可以是0到9中的任意一个数字，所以有10^(len-2)种选择。综上，当前位对答案的贡献是10*(9^(len-1)+10^(len-2))。

最终的答案就是将1到N的所有数字的贡献相加。具体实现可以用递归的方式按位计算。

当然，如果我们要计算至少包含一个重复的数字的数字个数，只需要使用总数减去不包含任何重复数字的数字个数即可。

代码实现

下面是用Python实现的具体代码片段。需要注意的是，代码中使用的是递归方式按位计算，而不是循环方式。这是因为循环方式需要手动计算出每一位的值，而递归方式则便于直接计算当前位的贡献，从而简化了代码。同时，为了提高效率，代码中使用了记忆化（即缓存计算结果）的方式。

class Solution:
    def countNumbersWithDup(self, n: int) -> int:
        self.cache = {}
        return n - self.countNumbersWithoutDup(n)

    def countNumbersWithoutDup(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 0
        if n < 10:
            return n
        if n in self.cache:
            return self.cache[n]

        high = int(str(n)[0])
        low = int(str(n)[1:])
        len_high = len(str(high))
        len_low = len(str(low))

        res = 0
        # 计算高位中没有数字的情况
        res += 9 * self.countNumbersWithoutDup(10 ** (len(n) - 1) - 1)
        # 计算高位中有数字的情况
        if high == 1:
            res += 1 * (low + 1) + 9 * (self.countNumbersWithoutDup(10 ** (len(n) - 2) - 1))
        elif high >= 2:
            res += 10 * self.countNumbersWithoutDup(10 ** (len(n) - 2) - 1)
        # 记录计算结果
        self.cache[n] = res
        return res

总结

本文介绍了一种计算不超过N的数字中至少包含一个重复的数字的数字个数的方法。使用该方法可以在O(logN)的时间复杂度内解决该问题，比暴力枚举的O(NlogN)时间复杂度更快。同时，本文还介绍了实现思路和具体代码，希望可以帮助读者理解和实现该算法。