使用 Backtracking 实现旅行商问题

旅行商问题（TSP）是一个经典的组合优化问题，其目的是找到一条路径，使得访问所有城市恰好一次并回到出发城市时，总路程最短。

Backtracking（回溯算法）是一种遍历所有可能解空间的算法。在这种算法中，从一组解的定义出发，逐步构造候选解，并且在确定某个候选解不满足要求时，回溯到上一个候选解。

使用 Backtracking 解决 TSP 问题的基本思路如下：

1. 定义问题的解空间，即所有可能路径的集合。
2. 从问题的解空间中选择一个候选解。
3. 判断该候选解是否符合要求。如果符合，转向步骤 4；否则，回溯到上一步选择另一个候选解。
4. 如果所有城市都已经被访问过，回到出发城市，计算总路程。如果该路径比之前的路径更短，更新最优解。
5. 回溯到上一个候选解，选择另一个候选解，回到步骤 3。

下面是一个使用 C++ 实现的 Backtracking TSP 算法的示例代码片段：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 10;
int adjMat[MAXN][MAXN];
bool visited[MAXN];
int n, ans = INT_MAX;

void TSP(int curr, int cost, int cnt) {
    if (cnt == n) {  // 所有城市都已经访问过
        if (adjMat[curr][0] != -1) {  // 回到出发城市
            ans = min(ans, cost + adjMat[curr][0]);  // 更新最优解
        }
        return;
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        if (!visited[i] && adjMat[curr][i] != -1) {
            visited[i] = true;
            TSP(i, cost + adjMat[curr][i], cnt + 1);
            visited[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> adjMat[i][j];
        }
    }
    memset(visited, false, sizeof visited);
    visited[0] = true;  // 出发城市已经访问过
    TSP(0, 0, 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

通过 Backtracking，该算法能够在较短时间内求解小规模 TSP 问题。然而，当城市数量增加时，由于需要遍历所有可能的路径，该算法的时间复杂度会迅速增加，难以处理大规模的 TSP 问题。此时，需要使用更加高效的算法，比如动态规划或者遗传算法等。