题目介绍

本题的主题是求解满足 $a + b + c = n$ 的非负整数解的数量。这个问题是组合数学中的经典问题，其解法有很多种。

解法一：暴力枚举

最直接的思路就是利用三重循环枚举 $a, b, c$ 的所有取值，并判断当其和为 $n$ 时，增加计数器的值。这个做法简单有效，代码实现也不难，但需要枚举的次数为 $O(n^3)$，时间复杂度较高。

代码实现：

def count_triplets(n):
    count = 0
    for a in range(n + 1):
        for b in range(n + 1):
            for c in range(n + 1):
                if a + b + c == n:
                    count += 1
    return count

解法二：插板法

考虑将 $n$ 个球放进 $3$ 个盒子中，可以插入 $2$ 个分割线将 $n$ 个球分成 $3$ 组，每组对应一个盒子中的球的数量。因为每个盒子中的球的数量可以为 $0$，因此总方案数为将 $n$ 个球和 $2$ 个分隔符排成 $n + 2$ 个位置的方案数，即 $C_{n+2}^2$。需要注意的是，这个方法虽然简单，但需要计算组合数，时间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现：

import math

def count_triplets(n):
    return math.comb(n + 2, 2)

解法三：递归计算

将问题转化为递归求解，用 $f(n)$ 表示将 $n$ 分成三份的方案数。当 $n$ 小于 $3$ 时，只有一种方案，即 $0 + 0 + n$；当 $n$ 大于等于 $3$ 时，可以考虑对第一个数 $a$ 枚举其取值，然后将问题转化为求解 $f(n-a)$。最后将所有枚举的组合方案数相加即可。

代码实现：

def count_triplets(n):
    if n < 3:
        return 1
    count = 0
    for a in range(n + 1):
        count += count_triplets(n - a)
    return count

总结

本题介绍了三种不同的求解方法，从暴力枚举到递归计算，每种方法都有其优缺点和适用场景。在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。