检查一个图是否强连接 | Set 1(使用 DFS 的 Kosaraju)

在图论中，强连通指的是图中所有节点都互相可达，即任何一个节点可以到达图中的任何一个节点。判断一个图是否强连通是一个非常常见的问题，下面介绍使用 Kosaraju 算法判断一个图是否强连通的方法。

Kosaraju 算法的实现方法

Kosaraju 算法是一种使用深度优先搜索（DFS）的算法，它的基本思路是：

1. 对原图进行一次 DFS，得到 DFS 树。
2. 对 DFS 树进行反向操作（交换每个节点的子节点和父节点），得到原图的反向图。
3. 对反向图进行一次 DFS，得到 SCC（Strongly Connected Components，强连通分量）。

在 Kosaraju 算法中，需要注意的是反向图的构建方式，可以使用邻接表或邻接矩阵进行构建。下面是使用邻接矩阵构建反向图的实现方法：

# Python 实现 Kosaraju 算法

from typing import List

def kosaraju(n: int, edges: List[List[int]]) -> bool:
    # 构建邻接矩阵
    graph = [[0] * n for _ in range(n)]
    for u, v in edges:
        graph[u][v] = 1

    # 第一次 DFS 遍历
    visited = [False] * n
    order = []
    def dfs1(u: int):
        visited[u] = True
        for v in range(n):
            if graph[u][v] and not visited[v]:
                dfs1(v)
        order.append(u)
    for u in range(n):
        if not visited[u]:
            dfs1(u)

    # 反向图
    graphT = [[graph[j][i] for j in range(n)] for i in range(n)]

    # 第二次 DFS 遍历
    visited = [False] * n
    def dfs2(u: int):
        visited[u] = True
        for v in range(n):
            if graphT[u][v] and not visited[v]:
                dfs2(v)
    for u in reversed(order):
        if not visited[u]:
            dfs2(u)

    # 判断是否是强连通
    for u in range(n):
        if not visited[u]:
            return False

    return True

Kosaraju 算法的时间复杂度

Kosaraju 算法的时间复杂度为 $O(|V| + |E|)$，其中 $|V|$ 是节点数量，$|E|$ 是边数量。

总结

Kosaraju 算法是一种高效的判断图是否强连通的方法，通过两次 DFS 遍历可以找到所有的强连通分量，时间复杂度为 $O(|V| + |E|)$。在实际问题中，判断一个图是否强连通是非常重要的，比如在计算有向图的 PageRank 等算法时都需要使用到强连通的概念。