具有给定 AND 值的子集数

在计算机科学中，我们经常需要对输入的数据进行处理和计算。其中，对于集合的一些基本操作尤为重要。在这里，我们将学习如何计算一个集合中具有给定 AND 值的子集数。

定义

设 $S$ 为一个集合，$S={a_1,a_2,...,a_n}$，$AND(S)$ 表示集合 $S$ 中所有元素的按位与操作。对于一个给定的整数 $k$，我们希望计算 $S$ 中所有元素的按位与操作结果为 $k$ 的子集个数。

解法

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

令 $dp[i][j]$ 表示集合 $S$ 中前 $i$ 个元素做按位与操作结果为 $j$ 的子集个数。

对于 $dp[i][j]$，我们有两种情况：

1. 第 $i$ 个元素 $a_i$ 不在子集中，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$。
2. 第 $i$ 个元素 $a_i$ 在子集中，此时 $dp[i][j] = dp[i-1][j AND a_i] + dp[i-1][j]$。

最终答案即为 $dp[n][k]$。

代码实现如下（使用 C++ 语言）：

int countSubset(vector<int>& nums, int k) {
    int n = nums.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(1024));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < 1024; ++j) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j & nums[i-1]];
        }
    }
    return dp[n][k];
}

上面的代码中使用了二维数组 dp 来表示状态转移，其中第二个维度的大小为 $1024$，是因为 $0 \leq nums_i < 1024$，即每个 $nums_i$ 都可以表示为一个 10 位二进制数。

总结

本文介绍了如何计算一个集合中具有给定 AND 值的子集数。我们使用了动态规划的方法，时间复杂度为 $O(n \times 1024)$，空间复杂度也为 $O(n \times 1024)$。具体实现可以参考上面的代码。

参考文献

[1] GeeksforGeeks. Count of subsets whose all elements are ANDed with each other gives a perfect square. Link