用于旋转矩阵元素的 Python 程序

旋转矩阵元素是计算机图形学中的基础操作之一，它可以将点、直线、面等几何元素绕着指定的中心点旋转一定的角度，从而实现物体在三维空间中的运动和变形。在 Python 中，可以通过 NumPy 库提供的一些函数来实现矩阵元素的旋转操作。

实现方式

要实现矩阵元素的旋转操作，关键在于需要构造旋转矩阵。在三维坐标系中，绕 $x$ 轴逆时针旋转角度 $\theta$ 的旋转矩阵为：

$$ R_x(\theta)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \ 0 & \sin \theta & \cos \theta \ \end{pmatrix} $$

同理，绕 $y$ 轴逆时针旋转角度 $\theta$ 的旋转矩阵为：

$$ R_y(\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \ 0 & 1 & 0 \ -\sin \theta & 0 & \cos \theta \ \end{pmatrix} $$

绕 $z$ 轴逆时针旋转角度 $\theta$ 的旋转矩阵为：

$$ R_z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix} $$

在代码实现中，可以使用 NumPy 库提供的 dot() 函数来实现矩阵乘法。例如，要将一个点 $(x,y,z)$ 绕 $z$ 轴逆时针旋转角度 $\theta$，可以用以下代码实现：

import numpy as np

# 定义旋转矩阵
theta = np.pi / 4  # 旋转角度为 45 度
Rz = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
               [np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
               [0, 0, 1]])

# 定义点坐标
p = np.array([1, 2, 3])

# 进行旋转操作
p_rotated = np.dot(Rz, p)

print(p_rotated)  # 输出 [-0.70710678  2.12132034  3.        ]

上述代码中，首先定义了绕 $z$ 轴旋转角度为 $\theta$ 的旋转矩阵 Rz，然后定义了点的坐标 p。使用 dot() 函数将旋转矩阵和点坐标相乘，得到旋转后的点坐标 p_rotated。

注意事项

在使用上述方法进行旋转操作时，需要注意以下几点：

• 旋转角度的单位默认是弧度，若需要使用角度，需要先将角度转换为弧度。
• 旋转操作是针对点、直线、面等几何元素进行的，而不是针对整个坐标系进行的。
• 若需要将物体绕某个点旋转，则需要先将物体平移到原点，旋转后再平移回原来的位置。

参考资料

• NumPy Reference
• Rotation matrix - Wikipedia