国际空间研究组织（ISRO）CS 2015 - 问题 72

这是ISRO CS 2015中的第72个问题，该考试是由国际空间研究组织(ISRO)主办的计算机科学考试。该问题旨在考察程序员对数据结构和算法的理解和应用。

问题描述

给定一组整数，编写一个函数，将它们分组成具有相同总和的子集。

示例

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: [[1, 5, 5], [11]]

解释:
有两种可能的分组方法：
- [1, 5, 5]和[11]的总和都是7。
- [1, 5]和[5, 11]的总和都是6。

解决方案

这是一个经典的背包问题，使用回溯算法可以解决，但是时间复杂度很高，需要优化。

可以使用 动态规划 解决这个问题。具体的实现方法可以使用一个二维的DP数组，其中$dp[i][j]$表示使用前$i$个元素，能否得到总和为$j$的子集。初始状态是$dp[0][0]$为True，因为空集总和为0。然后，对于每个元素，我们有两个选择：

1. 不包括当前元素，直接继承之前的状态，即$dp[i][j] = dp[i-1][j]$。
2. 包括当前元素，判断是否能得到总和为$j-nums[i-1]$的子集，即$dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i-1]]$。

最终答案为$dp[n][target]$，$n$是元素的数量，$target$是目标子集的总和。

代码实现

def canPartition(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: bool
    """
    # 计算总和
    total = sum(nums)
    
    # 如果总和是奇数，无法分成两个相等的子集
    if total % 2 != 0:
        return False
    
    # 计算目标子集的总和
    target = total // 2
    
    # 初始化DP数组
    n = len(nums)
    dp = [[False] * (target + 1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = True
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(target+1):
            # 不包括当前元素
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            
            # 包括当前元素
            if j >= nums[i-1]:
                dp[i][j] |= dp[i-1][j-nums[i-1]]
                
    return dp[n][target]

这个算法使用了二维的DP数组，所以时间复杂度是$O(n\times target)$，空间复杂度也是$O(n\times target)$。