从 P 男性和 Q 女性中选择至少 X 男性和 Y 女性的 N 个人的所有可能方式的计数

介绍

在某些问题中，需要从一组人中选择至少一定数量的男性和女性来满足要求。本文介绍一种通用的方法来计算从 P 个男性和 Q 个女性中选择至少 X 个男性和 Y 个女性的 N 个人的方式的计数。

方法

这个问题可以用组合数学中的二项式系数来解决。我们需要计算选择了 X 个男性和 Y 个女性后，从剩余的男性和女性中选择 N - X - Y 个人的方式的计数。然后把这些计数相乘，就可以得到选择至少 X 个男性和 Y 个女性的 N 个人的方式的计数。

计算从 P 个男性中选择 X 个人的方式的计数，可以使用以下公式：

P(X) = P! / (X! * (P - X)!)

其中 ! 表示阶乘运算，即 n! = 1 * 2 * ... * n。

同样地，计算从 Q 个女性中选择 Y 个人的方式的计数，使用以下公式：

Q(Y) = Q! / (Y! * (Q - Y)!)

从剩余的男性和女性中选择 N - X - Y 个人的方式的计数，可以使用以下公式：

R = (P - X) + (Q - Y)
N - X - Y个人的方式的计数 = R! / ((N - X - Y)! * (R - N + X + Y)!)

最后，选择至少 X 个男性和 Y 个女性的 N 个人的方式的计数，可以通过以下公式计算：

Sum(X,Y) = P(X) * Q(Y) * (R! / ((N - X - Y)! * (R - N + X + Y)!))
选择至少 X 个男性和 Y 个女性的 N 个人的方式的计数 = Sum(X,Y), 其中 X >= X， Y >= Y，X + Y <= N

代码片段

以下代码片段实现了上述方法，并返回一个包含所有可能方式的计数的列表。

def choose_people_count(P, Q, X, Y, N):
    '''
    从 P 男性和 Q 女性中选择至少 X 男性和 Y 女性的 N 个人的所有可能方式的计数

    P: int, 男性的数量
    Q: int, 女性的数量
    X: int, 至少选择的男性的数量
    Y: int, 至少选择的女性的数量
    N: int, 总共选择的数量

    return: list[int], 所有可能方式的计数
    '''
    counts = []
    for i in range(X, N - Y + 1):
        for j in range(Y, N - i + 1):
            n = i + j
            p = math.factorial(P) // (math.factorial(i) * math.factorial(P - i))
            q = math.factorial(Q) // (math.factorial(j) * math.factorial(Q - j))
            r = P + Q - i - j
            s = math.factorial(r) // (math.factorial(N - i - j) * math.factorial(r - N + i + j))
            counts.append(p * q * s)
    return counts

以上的代码片段使用了 Python 3，并通过 math 模块来计算阶乘。必要时，可以使用其他方法来计算阶乘。函数需要传入五个参数：男性的数量 P，女性的数量 Q，至少选择的男性的数量 X，至少选择的女性的数量 Y，总共选择的数量 N。函数返回一个包含所有可能方式的计数的列表。