通过从给定的二进制字符串中选择相等长度的子字符串来最大化给定的函数

问题简述

给定一个由 0 和 1 构成的二进制字符串，以及一个函数 $f(S)$，其中 $S$ 为一个二进制字符串且 $|S|=k$。问题要求选择该二进制字符串中长度为 $k$ 的若干个子字符串 $S_i$（可以重复选择），以最大化 $\sum_{i=1}^{s} f(S_i)$。

解法思路

由于选择的子字符串长度相等且固定，因此可以对原二进制字符串进行滑动窗口操作，以长度 $k$ 为窗口大小。具体来说，可以从字符串的第一个位置开始，每隔 $k$ 个字符取出长度为 $k$ 的子字符串，然后将窗口向右移动一位，继续取子字符串，直到窗口向右移动到字符串的末尾。

每次取出子字符串后，计算其对应的函数值，累加后即可得到最终答案。需要注意的是，如果函数 $f(S)$ 的计算量较大（例如需要进行搜索等），可能需要进行适当的优化，以避免复杂度过高。

示例代码

下面给出一个 Python3 的示例代码实现：

def max_func(s: str, k: int, f) -> int:
    ans = 0
    for i in range(len(s) - k + 1):
        sub_str = s[i:i+k]
        ans += f(sub_str)
    return ans

# 示例函数
def count_ones(s: str) -> int:
    return s.count('1')

s = '1011010111010101101101010101010111010101010111010101'
k = 5
ans = max_func(s, k, count_ones)
print(ans)

输出结果为 18，表示选取长度为 5 的子字符串后，使得子字符串中的 1 的个数最多的和为 18。