计算从1到n的所有数字中的总置位位数| 套装2

本文将介绍如何计算从1到n的所有数字中的总置位位数。

什么是置位位数

在计算机中，二进制数的一位要么是0，要么是1。如果这个二进制位是1，我们就称其为置位。置位位数就是一个数中所有的置位的数量。

例如，二进制数1011有3个置位（1的个数为3）。

问题描述

给定一个正整数n，编写一个函数来计算从1到n的所有数字中置位位数的总和。

例如，n = 5，我们有1、2、3、4、5，其中置位位数的总和是2 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8。

算法实现

我们可以通过以下步骤计算从1到n的所有数字中置位位数的总和。

1. 定义一个变量total，用于计算置位位数的总和，同时将其初始化为0。

2. 从1到n，枚举每个数字num。

3. 将num转换为二进制数字符串bin_num。

4. 统计bin_num中的置位位数count。

5. 将count累加到total中。

6. 返回total。

下面是此算法的Python实现示例代码：

def count_bits(n: int) -> int:
    total = 0
    for num in range(1, n + 1):
        bin_num = bin(num)[2:]
        count = bin_num.count('1')
        total += count
    return total

测试样例

我们来测试一下上面的代码是否正确。

输入：5

输出：8

理由：数字1~5的二进制表示分别为1、10、11、100、101，其中置位位数的总和为2+1+2+1+2=8。

assert count_bits(5) == 8

性能分析

算法实现的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为输入的数值范围。由于每个数字的二进制位数为logn级别，因此将二进制中1的个数统计出来需要O(logn)的时间。

空间复杂度为O(1)，因为算法只需要一个变量total来存储置位位数的总和。

总结

本文介绍了如何计算从1到n的所有数字中置位位数的总和。我们通过枚举每个数字，并将其转换为二进制数字符串，再统计其中的置位位数，累加到总和中即可。该算法的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。