求解最长的偶数长度子串使上下两部分总和相等

给定一个仅由数字组成的字符串，求出最长的偶数长度子串，使得子串的上半部分数字之和等于下半部分数字之和。

解题思路

本题需要求解的是最长的符合条件的子串，因此可以使用动态规划算法求解。

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从 i 到 j 这个子串是否符合要求，如果符合则为 1，否则为 0。

然后，我们可以枚举子串的长度 length，再枚举子串的起始位置 i，从而得到子串的结束位置 j。此时，可以根据子串的长度 length 判断子串是否为偶数长度。

如果子串为偶数长度，则可以将子串分为上半部分和下半部分，计算它们的和，如果相等则说明该子串符合要求，可以将 dp[i][j] 设为 1。

最终，遍历 dp 数组，求出最长的长度为偶数且 dp[i][j] 为 1 的子串，即为所求。

代码实现

以下是 Python 代码实现：

def longest_even_substring(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    res = 0  # 记录符合要求的子串长度
    
    for length in range(2, n+1, 2):  # 枚举子串长度
        for i in range(n - length + 1):  # 枚举子串起始位置
            j = i + length - 1  # 子串结束位置
            if length == 2:  # 特殊情况，子串长度为 2
                dp[i][j] = int(s[i] == s[j])
            else:  # 子串长度大于 2
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] and s[i] == s[j]
            if dp[i][j] and length > res:  # 记录最长的长度为偶数的子串
                res = length
    
    return res

测试案例

对于输入的字符串 s = "1232141"，最长的符合要求的子串为 "232"，因此输出为 3。

对于输入的字符串 s = "1234554321"，最长的符合要求的子串为 "34554"，因此输出为 5。

时间复杂度

本算法需要枚举子串的长度和起始位置，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。

空间复杂度

本算法使用了一个 $n\times n$ 的二维数组，因此空间复杂度为 $O(n^2)$。

结语

本题是一道较为基础的动态规划问题，知道了解题思路和实现方法后，可以尝试更复杂的动态规划问题。