通过添加一条边来最大化给定顶点之间的最短路径

问题描述

给定一个有向带权图 $G=(V,E)$，其中每个边 $(u,v)$ 的权重为 $w(u,v)$，以及两个顶点 $s$ 和 $t$，求通过添加一条边 $(x,y)$，使得 $s$ 到 $t$ 的最短路径 $s \rightarrow t$ 的长度最大化。

解法分析

我们可以利用 Floyd 算法或 Dijkstra 算法来求出任意两个顶点之间的最短路径长度。而要求通过添加一条边 $(x,y)$ 最大化 $s$ 到 $t$ 的最短路径长度，可以转化为求不包含顶点 $x$ 和 $y$ 的最短路径长度最大的两个顶点 $u$ 和 $v$，然后再计算 $s$ 到 $u$ 的最短路径长度 $d(s,u)$、$s$ 到 $v$ 的最短路径长度 $d(s,v)$、$u$ 到 $t$ 的最短路径长度 $d(u,t)$、$v$ 到 $t$ 的最短路径长度 $d(v,t)$，以及加上边 $(x,y)$ 后 $s$ 到 $t$ 的最短路径长度 $d(s,t)$，最后取最大值即可。

代码实现

import heapq

def dijkstra(n, edges, s):
    '''Dijkstra's algorithm to find shortest paths from s to all other vertices.'''
    dist = [float('inf')] * n
    dist[s] = 0
    heap = [(0, s)]
    while heap:
        _, u = heapq.heappop(heap)
        for v, w in edges[u]:
            alt = dist[u] + w
            if alt < dist[v]:
                dist[v] = alt
                heapq.heappush(heap, (alt, v))
    return dist

def find_shortest_paths(n, edges, s, t):
    '''Find shortest paths from s and t to all other vertices.'''
    dist_s = dijkstra(n, edges, s)
    dist_t = dijkstra(n, edges, t)
    return dist_s, dist_t

def find_max_shortest_path(n, edges, s, t):
    '''Find the maximum shortest path from s to t by adding one edge.'''
    dist_s, dist_t = find_shortest_paths(n, edges, s, t)

    # Find the two vertices with maximum shortest path and their distances from s and t.
    max_dist = -float('inf')
    for u in range(n):
        for v, w in edges[u]:
            if u == v:
                continue
            if dist_s[u] != float('inf') and dist_t[v] != float('inf') and dist_s[u] + w + dist_t[v] > max_dist:
                max_dist = dist_s[u] + w + dist_t[v]
                max_u, max_v = u, v
                dist_su, dist_tv = dist_s[u], dist_t[v]

    # Calculate the shortest path distances with the added edge.
    dist_sx = dijkstra(n, edges, max_u)
    dist_ty = dijkstra(n, edges, max_v)
    dist_st = dist_su + dist_tv + edges[max_u][max_v] + dist_ty[t]

    return dist_st

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(nm\log m)$，其中 $n$ 是顶点数，$m$ 是边数。该算法的空间复杂度为 $O(nm)$，其中 $n$ 是顶点数，$m$ 是边数。