查找所有有效对的 a[i]%a[j] 的总和

在某些应用中，我们需要查找数组中所有有效对的 a[i]%a[j] 的总和。这是一个常见的问题，可以用暴力枚举的方式解决，但是时间复杂度较高。本文介绍两种更优秀的解法。

解法一

考虑将 a[i]%a[j] 转化为 a[i] - k*a[j] （k 为整数），根据模运算的定义，它们的余数相同。我们可以将 a[i] % k 的余数存放在一个桶中，然后对于每个 a[j]，找到余数相同的 a[i]，即可计算出 a[i]%a[j] 的总和。

具体地，我们可以创建一个桶数组 b，大小为 k，对于每个 a[i]，将它模 k 的余数存放在 b 数组中对应的位置。然后对于每个 a[j]，找到 b 数组中和 a[j] 同余的数，假设它的下标为 idx，那么就有 idx 个数和 a[j] 满足条件。将它们求和后，加入答案中即可。

这种解法的时间复杂度为 O(n+k)，其中 n 为数组大小，k 为模数，通常情况下 k 很小，因此这个算法非常高效。

下面是 Python 代码片段：

def valid_pairs_sum(a):
    k = 1000000  # 模数
    b = [0] * k
    ans = 0
    for i in range(len(a)):
        r = a[i] % k
        ans += b[r]
        b[r] += 1
    return ans

解法二

另一种解法是使用哈希表，将每个余数及其出现次数存储在哈希表中。对于每个 a[j]，计算它模 k 的余数为 r，然后在哈希表中查找 r 对应的出现次数，将它们相加，即可得到 a[j] 对答案的贡献。

这种解法的时间复杂度为 O(n)，但是它需要使用哈希表，因此需要额外的空间。

下面是 Python 代码片段：

def valid_pairs_sum(a):
    k = 1000000  # 模数
    cnt = {}
    ans = 0
    for i in range(len(a)):
        r = a[i] % k
        if r in cnt:
            ans += cnt[r]
        cnt[r] = cnt.get(r, 0) + 1
    return ans

以上就是两种解决查找所有有效对的 a[i]%a[j] 的总和的算法，它们的时间复杂度都相对较低，可以高效地解决该问题。