统计三元组 (A, B, C) 问题

给定平面上 n 个点的坐标，求点 B 和 C 与 A 等距的三元组 (A, B, C) 的总数。

问题分析

要求点 B 和 C 与 A 等距，就是要求 AB 和 AC 的长度相等，这样的三元组 (A, B, C) 才能组成等腰三角形。

设点 B 的坐标为 (x1, y1)，点 C 的坐标为 (x2, y2)，点 A 的坐标为 (x3, y3)。

根据勾股定理，我们可以得到:

AB 的长度为 sqrt((x1-x3)(x1-x3) + (y1-y3)(y1-y3))

AC 的长度为 sqrt((x2-x3)(x2-x3) + (y2-y3)(y2-y3))

如果 AB 的长度等于 AC 的长度，则有:

(x1-x3)(x1-x3) + (y1-y3)(y1-y3) = (x2-x3)(x2-x3) + (y2-y3)(y2-y3)

从而得到：

y1x2 - x1y2 = y3*(x2-x1) + x3*(y1-y2)

也就是说，每组（y1，x1）和（y2，x2）使得左式等于右式，就是一组等腰三角形。

因此，我们可以遍历所有可能的点对 (B, C)，然后统计它们到每一个点 A 的距离是否相等。如果相等，则它们组成了一个等腰三角形。最后，我们返回等腰三角形的总数。

算法实现

下面给出一个基于 Python 的实现示例代码：

def count_triangles(points):
    n = len(points)
    cnt = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            x1, y1 = points[i]
            x2, y2 = points[j]
            for k in range(n):
                if k == i or k == j:
                    continue
                x3, y3 = points[k]
                if y1*x2 - x1*y2 == y3*(x2-x1) + x3*(y1-y2):
                    cnt += 1
    return cnt

其中，points 是一个包含所有点坐标的列表，例如：[(0,0), (1,1), (2,2)]

这里的时间复杂度为 O(n^3)，因为要遍历所有的点对和每一个点。如果有更高效的算法，时间复杂度可以进一步降低。