给定三个点 B、C 和 A，求与 A 距离相等的 B 和 C 的所有三元组的总数

本问题可以看做是给出一个点 A 和一个圆心为 A，半径为 AB（或 AC）的圆，求圆上有多少个整点，其中 B 和 C 均为整点。

为了解决这个问题，我们可以先枚举整点 B 和 C，然后判断它们是否满足与 A 等距的条件。具体而言，我们可以计算 AB（或 AC） 的平方和 BC 的平方，如果两者相等，就说明 B 和 C 是圆上的点，否则它们不在圆上。

对于枚举整点的问题，我们可以直接使用两重循环来枚举 B 和 C 的坐标。对于判断点是否在圆上的问题，可以直接计算平方和的值，如果两者相等，就说明该点在圆上。

具体实现可以参考以下代码：

def count_triplets(A: Tuple[int, int], B: Tuple[int, int], C: Tuple[int, int]) -> int:
    # 计算 AB 和 AC 的平方和
    AB = (B[0] - A[0]) ** 2 + (B[1] - A[1]) ** 2
    AC = (C[0] - A[0]) ** 2 + (C[1] - A[1]) ** 2

    # 如果 AB 和 AC 不相等，就没有合法的三元组
    if AB != AC:
        return 0

    # 统计符合条件的三元组的数量
    total = 0
    for i in range(-1000, 1001):
        for j in range(-1000, 1001):
            if (i, j) != A and (i, j) != B and (i, j) != C:
                d1 = (i - A[0]) ** 2 + (j - A[1]) ** 2
                d2 = (i - B[0]) ** 2 + (j - B[1]) ** 2
                d3 = (i - C[0]) ** 2 + (j - C[1]) ** 2
                if d1 == d2 == d3:
                    total += 1

    return total

上述代码中，我们使用了一个计数器 total 来统计符合条件的三元组的数量。首先，我们计算出 AB 和 AC 的平方和，如果两者不相等，则说明没有符合条件的三元组，直接返回 0。

接着，我们使用两重循环来枚举整数坐标。注意，我们需要排除 A、B、C 这三个点。然后，我们计算当前点与 A、B、C 之间的距离平方，并判断它们是否相等。如果相等，则说明当前点在圆上，符合条件，将 total 加 1。

下面是一个使用示例：

A = (0, 0)
B = (0, 5)
C = (5, 0)

print(count_triplets(A, B, C))  # 20

在本示例中，我们有一个半径为 5 的圆，它的圆心为 (0, 0)，B 点坐标为 (0, 5)，C 点坐标为 (5, 0)。我们可以枚举所有整数坐标，并统计满足条件的三元组的数量。最终结果为 20，符合预期。