给定运算生成的质因数和的序列的最大长度

介绍

在数学运算中，经常会涉及到将一个数分解成若干个质数的乘积，即质因数分解。而质因数和，便是将一个数分解成质因数后，把这些质因数加起来得到的结果。

这里有一个问题：给定一个运算，比如加、减、乘、除，对于一个指定的数，我们如何得到一组质因数和的序列，并且找到相应的序列中，元素最多的子序列呢？如何设计一个高效的算法来解决这个问题？

解法

我们可以先计算出给定数的质因数分解，然后根据每个数的质因数分解，计算出它的质因数和。例如，对于数 12，它的质因数分解为 2 * 2 * 3，因此它的质因数和为 2 + 2 + 3 = 7。

接着，我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体地，我们可以定义状态 dp[i][j] 为选取前 i 个数中，和为 j 的最大长度。我们可以根据 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-a[i]] 来更新 dp[i][j]，其中 a[i] 表示第 i 个数的质因数和。状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-a[i]] + 1), 其中 j >= a[i], 1 <= i <= n, 1 <= j <= m

其中，n 表示数的总数，m 表示所有数的质因数和的最大值。我们的最终答案即为 dp[n][j] 中的最大值。

时间复杂度为 O(nm)，空间复杂度为 O(nm)。如果 m 比较大，可以考虑使用滚动数组来优化空间复杂度。

代码

def get_primes(n):
    """
    计算 n 的质因数分解，并返回质因数和
    """
    res = 0
    i = 2
    while i * i <= n:
        while n % i == 0:
            res += i
            n //= i
        i += 1
    if n > 1:
        res += n
    return res

def get_max_len(nums, op):
    """
    给定运算生成的质因数和的序列的最大长度
    :param nums: list[int], 给定的数
    :param op: str, 运算符，支持加、减、乘、除
    :return: int, 最大长度
    """
    # 计算所有数的质因数和并获取最大值
    prsum = [get_primes(num) for num in nums]
    m = max(prsum)
 
    n = len(nums)
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
 
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(m+1):
            if j < prsum[i-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                if op == '+':
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-prsum[i-1]] + 1)
                elif op == '-':
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j+prsum[i-1]] + 1)
                elif op == '*':
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j//prsum[i-1]] + 1)
                elif op == '/':
                    if prsum[i-1] == 0: # 质因数和为 0，不能做除法
                        dp[i][j] = dp[i-1][j]
                    else:
                        dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j*prsum[i-1]] + 1)
    return dp[n][m] # 返回最大值