两个数的二项式系数的所有乘积之和

在组合数学中，二项式系数 $C_n^k$ 表示从 $n$ 个不同元素集合中取出 $k$ 个元素的组合数，即 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$。本题要求计算两个数的二项式系数的所有乘积之和，即 $\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} C_n^i\times C_m^j$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为两个非负整数，且 $n+m \leq K$。

解法1：暴力法

最简单直接的方法是枚举所有 $i\in[0,n]$ 和 $j\in[0,m]$，然后计算二项式系数并累加。时间复杂度为 $O(nm)$，对于 $K$ 比较小的情况是可行的，但对于较大的 $K$ 会超时。

def calc(n: int, m: int, K: int) -> int:
    ans = 0
    for i in range(n+1):
        for j in range(m+1):
            ans += math.comb(n, i) * math.comb(m, j)
    return ans

解法2：利用二项式定理

根据二项式定理：

$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n} C_n^i x^{n-i}y^i$$

我们可以得到：

$$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m} C_n^i\times C_m^j &= \sum_{i=0}^{n} C_n^i\times\sum_{j=0}^{m} C_m^j \ &= (2^n-1)\times(2^m-1) \end{aligned}$$

时间复杂度为 $O(1)$，非常高效。

def calc(n: int, m: int, K: int) -> int:
    return (2**n-1) * (2**m-1)

总结

本题是一道非常简单的组合数学题目，主要考察对二项式系数和二项式定理的理解和应用。解法1是最朴素的暴力法，时间复杂度为 $O(nm)$。解法2则利用了二项式定理，时间复杂度为 $O(1)$。在实际使用中，应该优先选择高效解法。