使用给定操作为NK块着色的方法数量

介绍

在这个问题中，我们考虑一个棋盘或网格，它被均匀地分成了一组格子或块。现在我们想要得知使用给定的颜色集合和操作集合，着色这个网格有多少种可能性。

具体而言，我们使用大小为 $N$ 的块来表示这个网格，使用大小为 $K$ 的颜色集合，其中每个块都需要被染上一种颜色。我们使用大小为 $q$ 的运算符集合来操作颜色。对于两种颜色 $a$ 和 $b$，运算符 $q$ 对这两种颜色的作用就是在 $a$ 上涂上一层颜色 $b$。运算符可以多次应用于同一对颜色，可以交换顺序并可以与其他运算符组合使用。

方法

这个问题可以通过生成函数来解决。我们可以定义状态 $F_{m}(x)$ 表示有 $m$ 个相同的 NK 块，使用给定颜色和操作集合着色后得到的可能性个数，其中 $x$ 是多项式的参数，定义为

$$F_m(x) = \sum_{i_1,i_2,\dots,i_{m}} x^{c(i_1,i_2,\dots,i_m)}$$

其中 $i_1,i_2,\dots,i_m$ 表示第 $m$ 个块的颜色编号， $c(i_1,i_2,\dots,i_m)$ 表示对于给定颜色和操作集合对块着色后的颜色方案的编号。

然后我们考虑尝试将一个新的块 $i_{m+1}$ 与现有的 $m$ 个块组合成一个新的 $m+1$ NK 块。因为 $m$ 个块着色后总共有 $N^m$ 种可能性，所以我们只需要枚举与每个块组合的新块的颜色，并且使用运算符将这些颜色合并到一起。具体而言，我们假设 $i_{m+1}$ 的颜色为 $c'$，原来第 $j$ 个块的颜色为 $c_j$，然后我们使用运算符将颜色 $c'$ 与颜色 $c_1$ 结合，得到一个新的颜色 $c'_1$，然后将 $c'_1$ 与 $c_2$ 结合，得到 $c'2$，以此类推，直到与 $c_m$ 结合后得到新的颜色 $c'{m}$。然后，我们使用生成函数将 $m$ 个块组合着色的可能性数乘上产生新块的可能性数，即

$$F_{m+1}(x) = [F_m(x)]^{N} \prod_{c'} F_{c'1}(x) F{c'2}(x) \cdots F{c'_{m}}(x)$$

代码

def NK_coloring(N, K, op):
    def combine_colors(c1, c2):
        for o in op:
            if o[2] == c2:
                return combine_colors(c1, o[1])
        return c1 ^ c2
        
    def calculate_F(m, F):
        if m == N:
            return F[0]
        if F[m] != 0:
            return F[m]
        f = 0
        for i in range(K):
            for j in range(m):
                c = combine_colors(i, j)
                f += calculate_F(m + 1, F) * F[c]
        F[m] = f
        return f
    
    F = [0] * (N + 1)
    F[0] = 1
    for i in range(K):
        F[i+1] = 1
    return calculate_F(0, F)

这个函数有三个参数，分别是块的数量 $N$，颜色集合的大小 $K$ 以及运算符集合 $op$。其中 $op$ 是一个列表，每个元素是一个三元组 $(a,b,c)$，表示将颜色 $c$ 覆盖在颜色 $b$ 上后得到颜色 $a$，即 $a = b \circ c$。函数返回的是使用给定颜色和运算符集合着色的 NK 块的可能性数。

示例

假设我们有一个 $2 \times 2$ 的网格，其中有两种颜色 (0 和 1)，并且有两个运算符，分别是 "将白色涂成黑色" 和 "将黑色涂成白色"。那么使用这些颜色和运算符进行着色的方法数量为：

NK_coloring(4, 2, [(1,0,1),(0,1,0)])

输出结果是 16。